Google
Câu hỏi: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y={{x}^{2}}+x-2$ và đường thẳng $y=\left( m+1 \right)+2$ có giá trị nhỏ nhất bằng
A. 11.
B. $\dfrac{21}{2}.$
C. $\dfrac{32}{3}.$
D. $\dfrac{23}{2}.$
A. 11.
B. $\dfrac{21}{2}.$
C. $\dfrac{32}{3}.$
D. $\dfrac{23}{2}.$
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng đã cho là
${{x}^{2}}+x-2=\left( m+1 \right)x+2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx-4=0\left( 1 \right).$
Do phương trình $\left( 1 \right)$ có $P=-4<0$ nên nó luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu. Giả sử hai nghiệm đó là ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \right)$. Theo định lí Vi-ét ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m \\
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-4 \\
\end{aligned} \right..$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y={{x}^{2}}+x-2$ và đường thẳng $y=\left( m+1 \right)x+2$ là:
$S=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| {{x}^{2}}+x-2-\left[ \left( m+1 \right)x+2 \right] \right|dx}=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| {{x}_{2}}-mx-4 \right|dx}=-\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( {{x}^{2}}-mx-4 \right)dx}=\int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{1}}}{\left( {{x}^{2}}-mx-4 \right)dx}$
$=\left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{m}{2}{{x}^{2}}-4x \right)\left| \begin{aligned}
& {{x}_{1}} \\
& {{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{1}{3}\left( x_{1}^{3}-x_{2}^{3} \right)-\dfrac{m}{2}\left( x_{1}^{2}-x_{2}^{2} \right)-4\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)$
$=\dfrac{1}{6}\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left[ 2\left( x_{1}^{2}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{2}^{2} \right)-3m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-24 \right]$
$=\dfrac{1}{6}\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left[ 2{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-3m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-24 \right]$
$=\dfrac{1}{6}\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( 2{{m}^{2}}+8-3{{m}^{2}}=24 \right)=\dfrac{1}{6}\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{m}^{2}}+16 \right).$
Suy ra ${{S}^{2}}=\dfrac{1}{36}{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}{{\left( {{m}^{2}}+16 \right)}^{2}}=\dfrac{1}{36}\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]{{\left( {{m}^{2}}+16 \right)}^{2}}=\dfrac{1}{36}{{\left( {{m}^{2}}+16 \right)}^{3}}$
$\Rightarrow {{S}^{2}}\ge \dfrac{1}{36}{{.16}^{3}}=\dfrac{1024}{9}\Rightarrow S\ge \dfrac{32}{3}.$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow m=0.$
Vậy ${{S}_{\min }}=\dfrac{32}{3}$ khi $m=0.$
${{x}^{2}}+x-2=\left( m+1 \right)x+2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx-4=0\left( 1 \right).$
Do phương trình $\left( 1 \right)$ có $P=-4<0$ nên nó luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu. Giả sử hai nghiệm đó là ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \right)$. Theo định lí Vi-ét ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m \\
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-4 \\
\end{aligned} \right..$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y={{x}^{2}}+x-2$ và đường thẳng $y=\left( m+1 \right)x+2$ là:
$S=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| {{x}^{2}}+x-2-\left[ \left( m+1 \right)x+2 \right] \right|dx}=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| {{x}_{2}}-mx-4 \right|dx}=-\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( {{x}^{2}}-mx-4 \right)dx}=\int\limits_{{{x}_{2}}}^{{{x}_{1}}}{\left( {{x}^{2}}-mx-4 \right)dx}$
$=\left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{m}{2}{{x}^{2}}-4x \right)\left| \begin{aligned}
& {{x}_{1}} \\
& {{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{1}{3}\left( x_{1}^{3}-x_{2}^{3} \right)-\dfrac{m}{2}\left( x_{1}^{2}-x_{2}^{2} \right)-4\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)$
$=\dfrac{1}{6}\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left[ 2\left( x_{1}^{2}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{2}^{2} \right)-3m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-24 \right]$
$=\dfrac{1}{6}\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left[ 2{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-3m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-24 \right]$
$=\dfrac{1}{6}\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( 2{{m}^{2}}+8-3{{m}^{2}}=24 \right)=\dfrac{1}{6}\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{m}^{2}}+16 \right).$
Suy ra ${{S}^{2}}=\dfrac{1}{36}{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}{{\left( {{m}^{2}}+16 \right)}^{2}}=\dfrac{1}{36}\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]{{\left( {{m}^{2}}+16 \right)}^{2}}=\dfrac{1}{36}{{\left( {{m}^{2}}+16 \right)}^{3}}$
$\Rightarrow {{S}^{2}}\ge \dfrac{1}{36}{{.16}^{3}}=\dfrac{1024}{9}\Rightarrow S\ge \dfrac{32}{3}.$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow m=0.$
Vậy ${{S}_{\min }}=\dfrac{32}{3}$ khi $m=0.$
Đáp án C.