Google
Câu hỏi: Điểm $M$ có hoành độ âm trên đồ thị $\left( C \right):y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-x+\dfrac{2}{3}$ sao cho tiếp tuyến tại $M$ vuông góc với đường thẳng $y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}$ là:
A. $M\left( -1;\dfrac{4}{3} \right)$
B. $M\left( -2;0 \right)$
C. $M\left( -3;\dfrac{-16}{3} \right)$
D. $M\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{9}{8} \right)$
A. $M\left( -1;\dfrac{4}{3} \right)$
B. $M\left( -2;0 \right)$
C. $M\left( -3;\dfrac{-16}{3} \right)$
D. $M\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{9}{8} \right)$
Phương pháp:
- Cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là ${{d}_{1}}:y={{a}_{1}}x+{{b}_{1}};{{d}_{2}}:y={{a}_{2}}x+{{b}_{2}}$ với ${{a}_{1}},{{a}_{2}}\ne 0.$ Khi đó ${{d}_{1}}\bot {{d}_{2}}\Leftrightarrow {{a}_{1}}{{a}_{2}}=-1$
- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm $x={{x}_{0}}$ có phương trình là $y=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)$
Cách giải:
Giả sử $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right).$
Ta có: $y'={{x}^{2}}-1$
Khi đó: $y'\left( {{x}_{0}} \right)=x_{0}^{2}-1$
Để tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ và đường thẳng $y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}$ vuông góc với nhau thì
$-\dfrac{1}{3}\left( x_{o}^{2}-1 \right)=-1\Leftrightarrow x_{0}^{2}=4\Leftrightarrow {{x}_{0}}=-2$ (do M có hoành độ âm)
Ta có: $y\left( -2 \right)=-\dfrac{8}{3}+2+\dfrac{2}{3}=0$
Vậy $M\left( -2;0 \right).$
- Cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là ${{d}_{1}}:y={{a}_{1}}x+{{b}_{1}};{{d}_{2}}:y={{a}_{2}}x+{{b}_{2}}$ với ${{a}_{1}},{{a}_{2}}\ne 0.$ Khi đó ${{d}_{1}}\bot {{d}_{2}}\Leftrightarrow {{a}_{1}}{{a}_{2}}=-1$
- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm $x={{x}_{0}}$ có phương trình là $y=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)$
Cách giải:
Giả sử $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right).$
Ta có: $y'={{x}^{2}}-1$
Khi đó: $y'\left( {{x}_{0}} \right)=x_{0}^{2}-1$
Để tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ và đường thẳng $y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}$ vuông góc với nhau thì
$-\dfrac{1}{3}\left( x_{o}^{2}-1 \right)=-1\Leftrightarrow x_{0}^{2}=4\Leftrightarrow {{x}_{0}}=-2$ (do M có hoành độ âm)
Ta có: $y\left( -2 \right)=-\dfrac{8}{3}+2+\dfrac{2}{3}=0$
Vậy $M\left( -2;0 \right).$
Đáp án B.