Google
Câu hỏi: Đặt $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=4-{{x}^{2}}$, trục hoành và đường thẳng $x=-2$, $x=m$, $\left( -2<m<2 \right)$. Tìm số giá trị của tham số $m$ để $S=\dfrac{25}{3}$.
A. $2$.
B. $3$.
C. $4$.
D. $1$.
A. $2$.
B. $3$.
C. $4$.
D. $1$.
Ta có ${S=\int\limits_{-2}^{m}{\left| 4-{{x}^{2}} \right|\text{d}x}=\dfrac{25}{3}}$.
Phương trình $4-{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow x=\pm 2$.
Bài ra $-2<m<2$ nên trên $\left( -2;m \right)$ thì $4-{{x}^{2}}=0$ vô nghiệm.
$\int\limits_{-2}^{m}{\left| 4-{{x}^{2}} \right|\text{d}x}=\dfrac{25}{3}\Leftrightarrow \left| \int\limits_{-2}^{m}{\left( 4-{{x}^{2}} \right)\text{d}x} \right|=\dfrac{25}{3}\Leftrightarrow \left| \left( 4x-\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right)\left| \begin{aligned}
& ^{m} \\
& _{-2} \\
\end{aligned} \right. \right|=\dfrac{25}{3} $ $ {\Leftrightarrow \left| \left( 4m-\dfrac{{{m}^{3}}}{3} \right)-\left( -8+\dfrac{8}{3} \right) \right|=\dfrac{25}{3}\Leftrightarrow \left| 4m-\dfrac{{{m}^{3}}}{3}+\dfrac{16}{3} \right|=\dfrac{25}{3}}$
${\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 4m-\dfrac{{{m}^{3}}}{3}+\dfrac{16}{3}=\dfrac{25}{3} \\
& 4m-\dfrac{{{m}^{3}}}{3}+\dfrac{16}{3}=-\dfrac{25}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{3}{{m}^{3}}-4m+3=0 \\
& \dfrac{1}{3}{{m}^{3}}-4m-\dfrac{41}{3}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{m}^{3}}-12m+9=0 \\
& {{m}^{3}}-12m-41=0 \\
\end{aligned} \right.} $ $ {\left( 1 \right)}$
Xét hàm số ${f\left( m \right)={{m}^{3}}-12m}$, với ${m\in \left( -2;2 \right)}$ có
Khi đó ${\left( 1 \right)}$ ${\Leftrightarrow {{m}^{3}}-12m+9=0\Leftrightarrow \left( m-3 \right)\left( {{m}^{2}}+3m-3 \right)=0\Rightarrow m=\dfrac{\sqrt{21}-3}{2}}$ thỏa mãn.
Vậy chỉ có ${m=\dfrac{\sqrt{21}-3}{2}}$ thỏa mãn bài toán.
Phương trình $4-{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow x=\pm 2$.
Bài ra $-2<m<2$ nên trên $\left( -2;m \right)$ thì $4-{{x}^{2}}=0$ vô nghiệm.
$\int\limits_{-2}^{m}{\left| 4-{{x}^{2}} \right|\text{d}x}=\dfrac{25}{3}\Leftrightarrow \left| \int\limits_{-2}^{m}{\left( 4-{{x}^{2}} \right)\text{d}x} \right|=\dfrac{25}{3}\Leftrightarrow \left| \left( 4x-\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \right)\left| \begin{aligned}
& ^{m} \\
& _{-2} \\
\end{aligned} \right. \right|=\dfrac{25}{3} $ $ {\Leftrightarrow \left| \left( 4m-\dfrac{{{m}^{3}}}{3} \right)-\left( -8+\dfrac{8}{3} \right) \right|=\dfrac{25}{3}\Leftrightarrow \left| 4m-\dfrac{{{m}^{3}}}{3}+\dfrac{16}{3} \right|=\dfrac{25}{3}}$
${\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 4m-\dfrac{{{m}^{3}}}{3}+\dfrac{16}{3}=\dfrac{25}{3} \\
& 4m-\dfrac{{{m}^{3}}}{3}+\dfrac{16}{3}=-\dfrac{25}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{3}{{m}^{3}}-4m+3=0 \\
& \dfrac{1}{3}{{m}^{3}}-4m-\dfrac{41}{3}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{m}^{3}}-12m+9=0 \\
& {{m}^{3}}-12m-41=0 \\
\end{aligned} \right.} $ $ {\left( 1 \right)}$
Xét hàm số ${f\left( m \right)={{m}^{3}}-12m}$, với ${m\in \left( -2;2 \right)}$ có
${{f}'\left( m \right)=3{{m}^{2}}-12=3\left( {{m}^{2}}-4 \right)<0}$, ${\forall m\in \left( -2;2 \right)}$.
Do đó ${f\left( m \right)}$ nghịch biến trên ${\left( -2;2 \right)\Rightarrow f\left( m \right)<f\left( -2 \right)=16\Rightarrow {{m}^{3}}-12m-41<0}$.Khi đó ${\left( 1 \right)}$ ${\Leftrightarrow {{m}^{3}}-12m+9=0\Leftrightarrow \left( m-3 \right)\left( {{m}^{2}}+3m-3 \right)=0\Rightarrow m=\dfrac{\sqrt{21}-3}{2}}$ thỏa mãn.
Vậy chỉ có ${m=\dfrac{\sqrt{21}-3}{2}}$ thỏa mãn bài toán.
Đáp án D.