Google
Câu hỏi: Đặt một điện áp xoay chiều ổn định $u={{U}_{0}}\cos \left( \omega t \right)\left( V \right)$ vào hai đầu đoạn mạch R, L, C mắc nối tiếp. điện dung của tụ điện có thể thay đổi được. Điều chỉnh điện dung của tụ sao cho điện áp hiệu dụng của tụ đạt giá trị cực đại, khi đó điện áp tức thời cực đại trên $R$ là $12a.$ Biết khi điện áp tức thời giữa hai đầu mạch là $16a$ thì điện áp tức thời giữa hai đầu tụ là $7a.$ Chọn hệ thức đúng:
A. $4R=3\omega L$
B. $3R=4\omega L.$
C. $R=2\omega L$
D. $2R=\omega L.$
A. $4R=3\omega L$
B. $3R=4\omega L.$
C. $R=2\omega L$
D. $2R=\omega L.$
Ta có; ${{U}_{C}}={{U}_{C\max }}$ khi ${{Z}_{C}}=\dfrac{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}{{{Z}_{L}}}$
Tổng trở của mạch khi đó:
$Z=\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-\dfrac{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}{{{Z}_{L}}} \right)}^{2}}}=R\dfrac{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}}{{{Z}_{L}}}$
Khi ${{U}_{R\max }}$ ta có:
${{U}_{R\max }}={{I}_{0}}.R=\dfrac{{{U}_{0}}}{Z}.R$
${{U}_{0}}={{U}_{R\max }}\dfrac{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}}{{{Z}_{L}}}=12a.\dfrac{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}}{{{Z}_{L}}}$ (1)
Góc lệch pha giữa $u$ và $i$ trong mạch:
$\tan \varphi =\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R}=\dfrac{{{Z}_{L}}-\dfrac{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}{{{Z}_{L}}}}{R}=-\dfrac{R}{{{Z}_{L}}}$
Góc lệch pha giữa ${{u}_{RL}}$ và $i$ trong mạch:
$\tan {{\varphi }_{RL}}=\dfrac{{{Z}_{L}}}{R}$
$\Rightarrow \tan \varphi .\tan {{\varphi }_{LR}}=-1\Rightarrow {{u}_{RL}}$ và $u$ vuông pha nhau
Khi đó: $\dfrac{{{u}^{2}}}{U_{0}^{2}}+\dfrac{u_{RL}^{2}}{U_{0RL}^{2}}=1$
Xét tỉ số: $\dfrac{{{U}_{0RL}}}{{{U}_{0}}}=\dfrac{{{Z}_{RL}}}{Z}=\dfrac{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}}{R\dfrac{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}}{{{Z}_{L}}}}=\dfrac{{{Z}_{L}}}{R}$
$\Rightarrow {{U}_{0LR}}={{U}_{0}}\dfrac{{{Z}_{L}}}{R}\to \dfrac{{{u}^{2}}}{U_{0}^{2}}+\dfrac{u_{RL}^{2}}{U_{0RL}^{2}}=\dfrac{{{u}^{2}}}{U_{0}^{2}}+\dfrac{u_{RL}^{2}}{U_{0}^{2}}\dfrac{{{R}^{2}}}{Z_{L}^{2}}=1$
$\Rightarrow {{u}^{2}}Z_{L}^{2}+u_{RL}^{2}{{R}^{2}}=U_{0}^{2}Z_{L}^{2}$ (2)
Khi $u=16a$ thì ${{u}_{C}}=7a$
$\Rightarrow {{u}_{RL}}=u-{{u}_{C}}=16a-7a=9a$ (3)
Thay (1) và (2) vào (3):
$256{{a}^{2}}Z_{L}^{2}+81{{a}^{2}}{{R}^{2}}=144{{a}^{2}}\left( {{R}^{2}}+Z_{L}^{2} \right)$
$\Rightarrow 9{{R}^{2}}=16Z_{L}^{2}\xrightarrow[{}]{{}}3R=4{{Z}_{L}}=4wL\Rightarrow 3R=4wL.$
Tổng trở của mạch khi đó:
$Z=\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-\dfrac{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}{{{Z}_{L}}} \right)}^{2}}}=R\dfrac{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}}{{{Z}_{L}}}$
Khi ${{U}_{R\max }}$ ta có:
${{U}_{R\max }}={{I}_{0}}.R=\dfrac{{{U}_{0}}}{Z}.R$
${{U}_{0}}={{U}_{R\max }}\dfrac{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}}{{{Z}_{L}}}=12a.\dfrac{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}}{{{Z}_{L}}}$ (1)
Góc lệch pha giữa $u$ và $i$ trong mạch:
$\tan \varphi =\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R}=\dfrac{{{Z}_{L}}-\dfrac{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}{{{Z}_{L}}}}{R}=-\dfrac{R}{{{Z}_{L}}}$
Góc lệch pha giữa ${{u}_{RL}}$ và $i$ trong mạch:
$\tan {{\varphi }_{RL}}=\dfrac{{{Z}_{L}}}{R}$
$\Rightarrow \tan \varphi .\tan {{\varphi }_{LR}}=-1\Rightarrow {{u}_{RL}}$ và $u$ vuông pha nhau
Khi đó: $\dfrac{{{u}^{2}}}{U_{0}^{2}}+\dfrac{u_{RL}^{2}}{U_{0RL}^{2}}=1$
Xét tỉ số: $\dfrac{{{U}_{0RL}}}{{{U}_{0}}}=\dfrac{{{Z}_{RL}}}{Z}=\dfrac{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}}{R\dfrac{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}}{{{Z}_{L}}}}=\dfrac{{{Z}_{L}}}{R}$
$\Rightarrow {{U}_{0LR}}={{U}_{0}}\dfrac{{{Z}_{L}}}{R}\to \dfrac{{{u}^{2}}}{U_{0}^{2}}+\dfrac{u_{RL}^{2}}{U_{0RL}^{2}}=\dfrac{{{u}^{2}}}{U_{0}^{2}}+\dfrac{u_{RL}^{2}}{U_{0}^{2}}\dfrac{{{R}^{2}}}{Z_{L}^{2}}=1$
$\Rightarrow {{u}^{2}}Z_{L}^{2}+u_{RL}^{2}{{R}^{2}}=U_{0}^{2}Z_{L}^{2}$ (2)
Khi $u=16a$ thì ${{u}_{C}}=7a$
$\Rightarrow {{u}_{RL}}=u-{{u}_{C}}=16a-7a=9a$ (3)
Thay (1) và (2) vào (3):
$256{{a}^{2}}Z_{L}^{2}+81{{a}^{2}}{{R}^{2}}=144{{a}^{2}}\left( {{R}^{2}}+Z_{L}^{2} \right)$
$\Rightarrow 9{{R}^{2}}=16Z_{L}^{2}\xrightarrow[{}]{{}}3R=4{{Z}_{L}}=4wL\Rightarrow 3R=4wL.$
Đáp án B.