Google
Câu hỏi: Đặt điện áp xoay chiều $u=U\sqrt{2}\cos (2\pi ft)(V)$ (U không đổi, f thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch gồm R, L, C mắc nối tiếp, với $R=\sqrt{\dfrac{L}{C}}.$ Khi $f={{f}_{1}}$ hoặc $f={{f}_{2}}$ thì công suất tiêu thụ của đoạn mạch là như nhau và bằng P0. Khi $f={{f}_{3}}$ thì điện áp hiệu dụng ở hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại và công suất tiêu thụ của đoạn mạch lúc này là P. Biết rằng $\dfrac{{{f}_{1}}+{{f}_{2}}}{{{f}_{3}}}=\dfrac{9}{2}.$ Tỉ số $\dfrac{{{P}_{0}}}{P}$ bằng
A. $\dfrac{19}{4}$
B. $\dfrac{51}{3}$
C. $\dfrac{4}{19}$
D. $\dfrac{3}{51}$
A. $\dfrac{19}{4}$
B. $\dfrac{51}{3}$
C. $\dfrac{4}{19}$
D. $\dfrac{3}{51}$
Phương pháp:
+ Cảm kháng, dung kháng: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{Z}_{L}}=\omega L \\
{{Z}_{C}}=\dfrac{1}{\omega C} \\
\end{array} \right.$
+ Sử dụng hệ thức suy ra từ bài toán f thay đổi
+ Công thức tính công suất tiêu thụ: $P=UI\cos \varphi =\dfrac{{{U}^{2}}}{{{Z}^{2}}}R$
Cách giải:
Ta có: $R=\sqrt{\dfrac{L}{C}}\Rightarrow {{R}^{2}}=\dfrac{L}{C}={{Z}_{L}}.{{Z}_{C}}$
Chuẩn hóa đặt $R=1\Rightarrow {{Z}_{L}}{{Z}_{C}}=\text{1 (1)}$
+ Khi $f={{f}_{1}}$ hoặc $f={{f}_{2}}$ thì mạch có cùng công suất
$\Rightarrow {{f}_{1}}.{{f}_{2}}=f_{0}^{2}~$ và $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{Z}_{L1}}={{Z}_{C2}} \\
{{Z}_{L2}}={{Z}_{C1}} \\
\end{array} \right.\text{ (2)}$
+ Khi $f={{f}_{3}}\Rightarrow {{U}_{C\max }}$ khi đó $\tan {{\varphi }_{RL}}.\tan \varphi =-\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{{{Z}_{L3}}}{R}\cdot \dfrac{{{Z}_{L3}}-{{Z}_{C3}}}{R}=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{Z_{L3}^{2}-1}{1}=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{Z}_{L3}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
Theo đề bài, ta có: $\dfrac{{{f}_{1}}+{{f}_{2}}}{{{f}_{3}}}=\dfrac{9}{2}\Leftrightarrow \dfrac{{{Z}_{L1}}+{{Z}_{L2}}}{{{Z}_{L3}}}=\dfrac{\text{9}}{\text{2}}\text{ (3)}$
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra ${{Z}_{L1}}=2\sqrt{2}$
Ta có công suất: $P=\dfrac{{{U}^{2}}}{{{Z}^{2}}}R$
$\Rightarrow \dfrac{{{P}_{0}}}{P}=\dfrac{Z_{3}^{2}}{Z_{1}^{2}}=\dfrac{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L3}}-{{Z}_{C3}} \right)}^{2}}}{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L1}}-{{Z}_{C1}} \right)}^{2}}}=\dfrac{1+{{\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{2} \right)}^{2}}}{1+{{\left( 2\sqrt{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right)}^{2}}}=\dfrac{4}{19}$
+ Cảm kháng, dung kháng: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{Z}_{L}}=\omega L \\
{{Z}_{C}}=\dfrac{1}{\omega C} \\
\end{array} \right.$
+ Sử dụng hệ thức suy ra từ bài toán f thay đổi
+ Công thức tính công suất tiêu thụ: $P=UI\cos \varphi =\dfrac{{{U}^{2}}}{{{Z}^{2}}}R$
Cách giải:
Ta có: $R=\sqrt{\dfrac{L}{C}}\Rightarrow {{R}^{2}}=\dfrac{L}{C}={{Z}_{L}}.{{Z}_{C}}$
Chuẩn hóa đặt $R=1\Rightarrow {{Z}_{L}}{{Z}_{C}}=\text{1 (1)}$
+ Khi $f={{f}_{1}}$ hoặc $f={{f}_{2}}$ thì mạch có cùng công suất
$\Rightarrow {{f}_{1}}.{{f}_{2}}=f_{0}^{2}~$ và $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{Z}_{L1}}={{Z}_{C2}} \\
{{Z}_{L2}}={{Z}_{C1}} \\
\end{array} \right.\text{ (2)}$
+ Khi $f={{f}_{3}}\Rightarrow {{U}_{C\max }}$ khi đó $\tan {{\varphi }_{RL}}.\tan \varphi =-\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{{{Z}_{L3}}}{R}\cdot \dfrac{{{Z}_{L3}}-{{Z}_{C3}}}{R}=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{Z_{L3}^{2}-1}{1}=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{Z}_{L3}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
Theo đề bài, ta có: $\dfrac{{{f}_{1}}+{{f}_{2}}}{{{f}_{3}}}=\dfrac{9}{2}\Leftrightarrow \dfrac{{{Z}_{L1}}+{{Z}_{L2}}}{{{Z}_{L3}}}=\dfrac{\text{9}}{\text{2}}\text{ (3)}$
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra ${{Z}_{L1}}=2\sqrt{2}$
Ta có công suất: $P=\dfrac{{{U}^{2}}}{{{Z}^{2}}}R$
$\Rightarrow \dfrac{{{P}_{0}}}{P}=\dfrac{Z_{3}^{2}}{Z_{1}^{2}}=\dfrac{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L3}}-{{Z}_{C3}} \right)}^{2}}}{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L1}}-{{Z}_{C1}} \right)}^{2}}}=\dfrac{1+{{\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{2} \right)}^{2}}}{1+{{\left( 2\sqrt{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \right)}^{2}}}=\dfrac{4}{19}$
Đáp án C.