Google
Câu hỏi: Đặt điện áp xoay chiều có tần số không đổi vào hai đầu đoạn mạch AB gồm điện trở thuần R, tụ điện C và cuộn cảm thuần L (L thay đổi được). Khi L = L0 thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm đạt cực đại và bằng ULmax . Khi L = L1 hoặc L = L2 thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm có giá trị như nhau và bằng UL. Biết rằng $\dfrac{U{}_{L}}{{{U}_{Lm\text{ax}}}}$ = k. Tổng hệ số công suất của mạch AB khi L = L1 và L = L2 là n.k. Hệ số công suất của mạch AB khi L = L0 có giá trị bằng ?
A. n $\sqrt{2}$
B. n.
C. $\dfrac{n}{\sqrt{2}}$
D. $\dfrac{n}{2}$
A. n $\sqrt{2}$
B. n.
C. $\dfrac{n}{\sqrt{2}}$
D. $\dfrac{n}{2}$
+ Khi L = L0:
${{U}_{L}}={{U}_{Lm\text{ax}}}\Rightarrow {{Z}_{L0}}=\dfrac{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}{{{Z}_{C}}}$ và ${{U}_{Lm\text{ax}}}=\dfrac{U\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{R}(1)$
+ Khi L = L1 và L = L2:
${{U}_{L1}}={{U}_{L2}}={{U}_{L}}\Rightarrow \dfrac{2}{{{Z}_{L0}}}=\dfrac{1}{{{Z}_{L1}}}+\dfrac{1}{{{Z}_{L2}}}(2)$
+ Ta có ${{U}_{L}}={{I}_{1}}{{Z}_{L1}}=\dfrac{U{{Z}_{L1}}}{{{Z}_{1}}}=\dfrac{U{{Z}_{L2}}}{{{Z}_{2}}}$
$\dfrac{{{U}_{L}}}{{{U}_{Lm\text{ax}}}}=\dfrac{R}{{{Z}_{1}}}\dfrac{{{Z}_{L1}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}=\dfrac{{{Z}_{L1}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}\cos {{\varphi }_{1}}=k\Rightarrow \cos {{j}_{1}}=\dfrac{k\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{{{Z}_{L1}}}$
$\dfrac{{{U}_{L}}}{{{U}_{Lm\text{ax}}}}=\dfrac{R}{{{Z}_{2}}}\dfrac{{{Z}_{L2}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}=\dfrac{{{Z}_{L2}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}\cos {{\varphi }_{2}}=k\Rightarrow \cos {{j}_{2}}=\dfrac{k\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{{{Z}_{L2}}}$
Cộng hai vế lại ta có:
$\cos {{j}_{1}}+\cos {{j}_{2}}=\dfrac{k\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{{{Z}_{L1}}}+\dfrac{k\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{{{Z}_{L2}}}=nk\Rightarrow \dfrac{1}{{{Z}_{L1}}}+\dfrac{1}{{{Z}_{L2}}}=\dfrac{n}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}(3)$
+ Từ (2) và (3) ta có:
$\dfrac{n}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}=\dfrac{2}{{{Z}_{L0}}}\Rightarrow \dfrac{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{{{Z}_{L0}}}=\dfrac{n}{2}$
+Hệ số công suất trong mạch khi L = L0:
$\cos {{j}_{0}}=\dfrac{R}{{{Z}_{0}}}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{L0}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(\dfrac{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}{{{Z}_{C}}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+\dfrac{{{R}^{4}}}{Z_{C}^{2}}}}=\dfrac{{{Z}_{C}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}$
$\cos {{j}_{0}}=\dfrac{{{Z}_{C}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}=\dfrac{{{Z}_{C}}\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}=\dfrac{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{{{Z}_{L0}}}=\dfrac{n}{2}.$ $$
${{U}_{L}}={{U}_{Lm\text{ax}}}\Rightarrow {{Z}_{L0}}=\dfrac{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}{{{Z}_{C}}}$ và ${{U}_{Lm\text{ax}}}=\dfrac{U\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{R}(1)$
+ Khi L = L1 và L = L2:
${{U}_{L1}}={{U}_{L2}}={{U}_{L}}\Rightarrow \dfrac{2}{{{Z}_{L0}}}=\dfrac{1}{{{Z}_{L1}}}+\dfrac{1}{{{Z}_{L2}}}(2)$
+ Ta có ${{U}_{L}}={{I}_{1}}{{Z}_{L1}}=\dfrac{U{{Z}_{L1}}}{{{Z}_{1}}}=\dfrac{U{{Z}_{L2}}}{{{Z}_{2}}}$
$\dfrac{{{U}_{L}}}{{{U}_{Lm\text{ax}}}}=\dfrac{R}{{{Z}_{1}}}\dfrac{{{Z}_{L1}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}=\dfrac{{{Z}_{L1}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}\cos {{\varphi }_{1}}=k\Rightarrow \cos {{j}_{1}}=\dfrac{k\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{{{Z}_{L1}}}$
$\dfrac{{{U}_{L}}}{{{U}_{Lm\text{ax}}}}=\dfrac{R}{{{Z}_{2}}}\dfrac{{{Z}_{L2}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}=\dfrac{{{Z}_{L2}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}\cos {{\varphi }_{2}}=k\Rightarrow \cos {{j}_{2}}=\dfrac{k\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{{{Z}_{L2}}}$
Cộng hai vế lại ta có:
$\cos {{j}_{1}}+\cos {{j}_{2}}=\dfrac{k\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{{{Z}_{L1}}}+\dfrac{k\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{{{Z}_{L2}}}=nk\Rightarrow \dfrac{1}{{{Z}_{L1}}}+\dfrac{1}{{{Z}_{L2}}}=\dfrac{n}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}(3)$
+ Từ (2) và (3) ta có:
$\dfrac{n}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}=\dfrac{2}{{{Z}_{L0}}}\Rightarrow \dfrac{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{{{Z}_{L0}}}=\dfrac{n}{2}$
+Hệ số công suất trong mạch khi L = L0:
$\cos {{j}_{0}}=\dfrac{R}{{{Z}_{0}}}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{L0}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(\dfrac{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}{{{Z}_{C}}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+\dfrac{{{R}^{4}}}{Z_{C}^{2}}}}=\dfrac{{{Z}_{C}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}$
$\cos {{j}_{0}}=\dfrac{{{Z}_{C}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}=\dfrac{{{Z}_{C}}\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}=\dfrac{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{{{Z}_{L0}}}=\dfrac{n}{2}.$ $$
Đáp án D.