Google
Câu hỏi: Đặt điện áp xoay chiều có tần số khôi đổi vào hai đầu đoạn mạch AB gồm điện trở thuần R, tụ điện C và cuộn cảm thuần L (L thay đổi được). Khi $L={{L}_{0}}$ thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm đạt cực đại và bằng ULmax. Khi $L={{L}_{1}}$ hoặc $L={{L}_{2}}$ thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm có giá trị như nhau và bằng UL. Biết rằng $\dfrac{{{U}_{L}}}{{{U}_{L\max }}}=k.$ Tổng hệ số công suất của mạch AB khi $L={{L}_{1}}$ và $L={{L}_{2}}$ là n.k. Hệ số công suất của mạch AB khi $L={{L}_{0}}$ có giá trị bằng?
A. $n\sqrt{2}$
B. n
C. $\dfrac{n}{\sqrt{2}}$
D. $\dfrac{n}{2}$
A. $n\sqrt{2}$
B. n
C. $\dfrac{n}{\sqrt{2}}$
D. $\dfrac{n}{2}$
+ Khi $L=L0:$
$UL=U{{L}_{\max }}\Rightarrow ZL0=\dfrac{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}{{{Z}_{C}}}$ và $U{{L}_{\max }}=\dfrac{U\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{R}\text{ }\left( 1 \right)$
+ Khi $L={{L}_{1}}$ và $L={{L}_{2}}$ :
$U{{L}_{1}}=U{{L}_{2}}=UL\Rightarrow \dfrac{2}{Z{{L}_{0}}}=\dfrac{1}{Z{{L}_{1}}}+\dfrac{1}{Z{{L}_{2}}}\text{ }\left( 2 \right)$
+ Ta có ${{U}_{L}}={{I}_{1}}Z{{L}_{1}}=\dfrac{U{{Z}_{{{L}_{1}}}}}{{{Z}_{1}}}=\dfrac{U{{Z}_{{{L}_{2}}}}}{{{Z}_{2}}}$
$\dfrac{{{U}_{L}}}{{{U}_{{{L}_{\max }}}}}=\dfrac{R}{{{Z}_{1}}}\dfrac{{{Z}_{L1}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}=\dfrac{{{Z}_{L1}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}\cos {{\varphi }_{1}}=k\Rightarrow \cos j1=\dfrac{k\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{{{Z}_{L1}}}$
$\dfrac{{{U}_{L}}}{{{U}_{{{L}_{\max }}}}}=\dfrac{R}{{{Z}_{2}}}\dfrac{{{Z}_{L2}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}=\dfrac{{{Z}_{L2}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}\cos {{\varphi }_{2}}=k\Rightarrow \cos j2=\dfrac{k\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{{{Z}_{L2}}}$
Cộng hai vế lại ta có:
$\cos j1+\cos j2=\dfrac{k\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{{{Z}_{L1}}}+\dfrac{k\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{{{Z}_{L2}}}=nk\Rightarrow \dfrac{1}{{{Z}_{L1}}}+\dfrac{1}{{{Z}_{L2}}}=\dfrac{n}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}\text{ }\left( 3 \right)$
+ Từ (2) và (3) ta có:
$\dfrac{n}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}=\dfrac{2}{{{Z}_{L0}}}=\dfrac{n}{2}$
+ Hệ số công suất trong mạch khi $L=L0:$
$\cos j0=\dfrac{R}{{{Z}_{0}}}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L0}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( \dfrac{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}{{{Z}_{C}}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+\dfrac{{{R}^{4}}}{Z_{C}^{2}}}}=\dfrac{{{Z}_{C}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}$
$\cos j0=\dfrac{{{Z}_{C}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}=\dfrac{{{Z}_{C}}\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}=\dfrac{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{{{Z}_{L0}}}=\dfrac{n}{2}$
$UL=U{{L}_{\max }}\Rightarrow ZL0=\dfrac{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}{{{Z}_{C}}}$ và $U{{L}_{\max }}=\dfrac{U\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{R}\text{ }\left( 1 \right)$
+ Khi $L={{L}_{1}}$ và $L={{L}_{2}}$ :
$U{{L}_{1}}=U{{L}_{2}}=UL\Rightarrow \dfrac{2}{Z{{L}_{0}}}=\dfrac{1}{Z{{L}_{1}}}+\dfrac{1}{Z{{L}_{2}}}\text{ }\left( 2 \right)$
+ Ta có ${{U}_{L}}={{I}_{1}}Z{{L}_{1}}=\dfrac{U{{Z}_{{{L}_{1}}}}}{{{Z}_{1}}}=\dfrac{U{{Z}_{{{L}_{2}}}}}{{{Z}_{2}}}$
$\dfrac{{{U}_{L}}}{{{U}_{{{L}_{\max }}}}}=\dfrac{R}{{{Z}_{1}}}\dfrac{{{Z}_{L1}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}=\dfrac{{{Z}_{L1}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}\cos {{\varphi }_{1}}=k\Rightarrow \cos j1=\dfrac{k\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{{{Z}_{L1}}}$
$\dfrac{{{U}_{L}}}{{{U}_{{{L}_{\max }}}}}=\dfrac{R}{{{Z}_{2}}}\dfrac{{{Z}_{L2}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}=\dfrac{{{Z}_{L2}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}\cos {{\varphi }_{2}}=k\Rightarrow \cos j2=\dfrac{k\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{{{Z}_{L2}}}$
Cộng hai vế lại ta có:
$\cos j1+\cos j2=\dfrac{k\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{{{Z}_{L1}}}+\dfrac{k\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{{{Z}_{L2}}}=nk\Rightarrow \dfrac{1}{{{Z}_{L1}}}+\dfrac{1}{{{Z}_{L2}}}=\dfrac{n}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}\text{ }\left( 3 \right)$
+ Từ (2) và (3) ta có:
$\dfrac{n}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}=\dfrac{2}{{{Z}_{L0}}}=\dfrac{n}{2}$
+ Hệ số công suất trong mạch khi $L=L0:$
$\cos j0=\dfrac{R}{{{Z}_{0}}}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L0}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( \dfrac{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}{{{Z}_{C}}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+\dfrac{{{R}^{4}}}{Z_{C}^{2}}}}=\dfrac{{{Z}_{C}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}$
$\cos j0=\dfrac{{{Z}_{C}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}=\dfrac{{{Z}_{C}}\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}=\dfrac{\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{{{Z}_{L0}}}=\dfrac{n}{2}$
Đáp án D.