Google
Câu hỏi: Đặt điện áp xoay chiều AB gồm đoạn mạch AM và MB mắc nối tiếp. Điện áp ở hai đầu đoạn mạch ổn định và có biểu thức u = $200\sqrt{2}$ cos( $100\pi t$ ) (V). Điện áp ở hai đầu đoạn mạch AM sớm pha hơn cường độ dòng điện một góc $\dfrac{\pi }{6}$. Đoạn mạch MB chỉ có một tụ điện có điện dung C thay đổi được. Điều chỉnh C để tổng điện áp hiệu dụng ${{U}_{AM}}+{{U}_{MB}}$ có giá trị lớn nhất. Khi đó điện áp hiệu dụng ở hai đầu tụ điện có giá trị
A. 440 V.
B. 220 V
C. $220\sqrt{2}$ V.
D. $220\sqrt{3}$ V.
A. 440 V.
B. 220 V
C. $220\sqrt{2}$ V.
D. $220\sqrt{3}$ V.
Độ lệch pha giữa hai đầu đoạn mạch AM: $\tan {{j}_{AM}}=\dfrac{{{Z}_{L}}}{R}=\tan 30{}^\circ =\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow {{Z}_{L}}=\dfrac{R}{\sqrt{3}}$
Tổng trở của mạch AM: ${{Z}_{AM}}=\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}=\dfrac{2R}{\sqrt{3}}$ (1)
Đặt $Y={{({{U}_{AM}}+{{U}_{MB}})}^{2}}$.
Tổng $({{U}_{AM}}+{{U}_{MB}})$ đạt giá trị cực đại khi Y đạt giá trị cực đại
$Y={{({{U}_{AM}}+{{U}_{MB}})}^{2}}={{I}^{2}}({{Z}_{AM}}+{{Z}_{C}})=\dfrac{{{U}^{2}}{{({{Z}_{AM}}+{{Z}_{C}})}^{2}}}{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}=\dfrac{{{U}^{2}}{{({{Z}_{AM}}+{{Z}_{C}})}^{2}}}{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}+Z_{C}^{2}-2{{\text{Z}}_{L}}{{Z}_{C}}}$
Để $Y={{Y}_{\max }}$ thì đạo hàm của Y theo ${{Z}_{C}}$ phải bằng không:
${Y}'=0\Rightarrow ({{R}^{2}}+Z_{L}^{2}+Z_{C}^{2}-2{{\text{Z}}_{L}}{{Z}_{C}}).2.({{Z}_{AM}}+{{Z}_{C}})-{{({{Z}_{AM}}+{{Z}_{C}})}^{2}}.2({{Z}_{C}}-{{Z}_{L}})=0$
Ta lại có:
$({{Z}_{AM}}+{{Z}_{C}})=0$ nên $({{R}^{2}}+Z_{L}^{2}+Z_{C}^{2}-2{{\text{Z}}_{L}}{{Z}_{C}})-({{Z}_{AM}}+{{Z}_{C}})({{Z}_{C}}-{{Z}_{L}})=0$
$\Rightarrow ({{Z}_{AM}}+{{Z}_{L}}){{Z}_{C}}={{R}^{2}}+Z_{L}^{2}+{{Z}_{AM}}{{Z}_{L}}$ (2).
Thay (1) vào (2) ta được: ${{Z}_{C}}=\dfrac{2R}{\sqrt{3}}$ (3)
Tổng trở toàn mạch: ${{Z}^{2}}={{R}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}\Rightarrow Z=\dfrac{2\text{R}}{\sqrt{3}}$
Ta thấy ${{Z}_{AM}}={{Z}_{MB}}={{Z}_{AB}}$ nên ${{U}_{MB}}={{U}_{C}}={{U}_{AB}}=220(V)$.
Tổng trở của mạch AM: ${{Z}_{AM}}=\sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}=\dfrac{2R}{\sqrt{3}}$ (1)
Đặt $Y={{({{U}_{AM}}+{{U}_{MB}})}^{2}}$.
Tổng $({{U}_{AM}}+{{U}_{MB}})$ đạt giá trị cực đại khi Y đạt giá trị cực đại
$Y={{({{U}_{AM}}+{{U}_{MB}})}^{2}}={{I}^{2}}({{Z}_{AM}}+{{Z}_{C}})=\dfrac{{{U}^{2}}{{({{Z}_{AM}}+{{Z}_{C}})}^{2}}}{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}=\dfrac{{{U}^{2}}{{({{Z}_{AM}}+{{Z}_{C}})}^{2}}}{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}+Z_{C}^{2}-2{{\text{Z}}_{L}}{{Z}_{C}}}$
Để $Y={{Y}_{\max }}$ thì đạo hàm của Y theo ${{Z}_{C}}$ phải bằng không:
${Y}'=0\Rightarrow ({{R}^{2}}+Z_{L}^{2}+Z_{C}^{2}-2{{\text{Z}}_{L}}{{Z}_{C}}).2.({{Z}_{AM}}+{{Z}_{C}})-{{({{Z}_{AM}}+{{Z}_{C}})}^{2}}.2({{Z}_{C}}-{{Z}_{L}})=0$
Ta lại có:
$({{Z}_{AM}}+{{Z}_{C}})=0$ nên $({{R}^{2}}+Z_{L}^{2}+Z_{C}^{2}-2{{\text{Z}}_{L}}{{Z}_{C}})-({{Z}_{AM}}+{{Z}_{C}})({{Z}_{C}}-{{Z}_{L}})=0$
$\Rightarrow ({{Z}_{AM}}+{{Z}_{L}}){{Z}_{C}}={{R}^{2}}+Z_{L}^{2}+{{Z}_{AM}}{{Z}_{L}}$ (2).
Thay (1) vào (2) ta được: ${{Z}_{C}}=\dfrac{2R}{\sqrt{3}}$ (3)
Tổng trở toàn mạch: ${{Z}^{2}}={{R}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}\Rightarrow Z=\dfrac{2\text{R}}{\sqrt{3}}$
Ta thấy ${{Z}_{AM}}={{Z}_{MB}}={{Z}_{AB}}$ nên ${{U}_{MB}}={{U}_{C}}={{U}_{AB}}=220(V)$.
Đáp án B.