Google
Câu hỏi: Đặt điện áp $u=U\sqrt{2}\cos \omega t\left( V \right)$ (với U, ω không đổi) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm R = 150 Ω, tụ điện có điện dung C, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L. Lúc này công suất tỏa nhiệt trên điện trở là P. Nếu tháo tụ điện ra khỏi mạch thì công suất tỏa nhiệt trên điện trở còn $\dfrac{P}{3}$. Tổng cảm kháng nhỏ nhất và dung kháng nhỏ nhất thỏa mãn bài toán có giá trị xấp xỉ
A. $385,3\Omega ~~~~~~~~~$
B. 288,6Ω
C. 282,8Ω
D. 25Ω
A. $385,3\Omega ~~~~~~~~~$
B. 288,6Ω
C. 282,8Ω
D. 25Ω
Phương pháp:
Công suất tiêu thụ: $P=\dfrac{{{U}^{2}}R}{{{Z}^{2}}}=\dfrac{{{U}^{2}}R}{{{R}^{2}}~+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}$
Phương trình bậc2: $~a{{x}^{2}}+bx+c=0$ có nghiệm khi $\Delta ={{b}^{2}}-4ac\ge 0$
Cách giải:
Khi chưa tháo tụ điện ra khỏi mạch, công suất nhiệt trên điện trở là:
$P=\dfrac{{{U}^{2}}R}{{{R}^{2}}~+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=\dfrac{{{U}^{2}}.150}{{{150}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}$
Khi tháo tụ điện ra khỏi mạch thì công suất toả nhiệt trên điện trở là:
$P'=\dfrac{{{U}^{2}}R}{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}=\dfrac{{{U}^{2}}.150}{{{150}^{2}}+Z_{L}^{2}}~$
Theo bài ra ta có:
$P'=\dfrac{P}{3}\Leftrightarrow \dfrac{{{U}^{2}}150}{{{150}^{2}}+Z_{L}^{2}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{U}^{2}}150}{{{150}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}$
⇔ $3.\left[ {{150}^{2}}+\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right){{~}^{2}} \right]~=150{{~}^{2}}+Z_{L}^{2~}~$
⇔ $3.\left( {{150}^{2}}+Z_{L}^{2}-2.{{Z}_{L}}.{{Z}_{C}}+Z_{C}^{2} \right)~={{150}^{~2}}+~Z_{L}^{2}~$
⇔ ${{3.150}^{2}}+3Z_{L}^{2}-6{{Z}_{L}}.{{Z}_{C}}+3Z_{C}^{2}=150{{~}^{2}}+~Z_{L}^{2~}$
⇔ $2Z_{L}^{2}-\left( 6.{{Z}_{C}} \right).{{Z}_{L}}+3Z~_{C}^{2~}+45000=~0\left( 1 \right)$
⇔ $3Z_{C}^{2}-\left( 6{{Z}_{L}} \right).{{Z}_{C}}+2Z_{L}^{2}~+45000=~0\left( 2 \right)$
Xét phương trình bậc 2 đối với ẩn ZL. Điều kiện để (1) có nghiệm là:
$\Delta ={{\left( 6{{Z}_{C}} \right)}^{2}}-4.2.\left( 3Z_{C}^{2~}+45000 \right)~\ge ~0$
$\Leftrightarrow 36Z_{C}^{2}-24Z_{C}^{2~}-360000\ge ~0$
⇔ ${{Z}_{C}}\ge 173,2\Omega \Rightarrow {{Z}_{C~min}}~=173,2\Omega ~\left( *~ \right)$
Xét phương trình bậc 2 đối với ẩn ${{Z}_{C}}$. Điều kiện để (2) có nghiệm là:
$\Delta ={{\left( 6{{Z}_{L}} \right)}^{2}}-4.2.\left( 3Z_{C}^{2}~+45000 \right)~\ge ~0~$
⇔ $36Z_{L}^{2}-24Z_{C}^{2}~-540000\ge ~0$
⇔ ${{Z}_{L}}\ge 212,1\Omega \Rightarrow {{Z}_{L~min}}~=212,1\Omega ~\left( **~ \right)$
Từ (*) và (**) ta có:
${{Z}_{Lmin}}+{{Z}_{Cmin}}=173,2+212,1=385,3\Omega $
Công suất tiêu thụ: $P=\dfrac{{{U}^{2}}R}{{{Z}^{2}}}=\dfrac{{{U}^{2}}R}{{{R}^{2}}~+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}$
Phương trình bậc2: $~a{{x}^{2}}+bx+c=0$ có nghiệm khi $\Delta ={{b}^{2}}-4ac\ge 0$
Cách giải:
Khi chưa tháo tụ điện ra khỏi mạch, công suất nhiệt trên điện trở là:
$P=\dfrac{{{U}^{2}}R}{{{R}^{2}}~+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=\dfrac{{{U}^{2}}.150}{{{150}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}$
Khi tháo tụ điện ra khỏi mạch thì công suất toả nhiệt trên điện trở là:
$P'=\dfrac{{{U}^{2}}R}{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}=\dfrac{{{U}^{2}}.150}{{{150}^{2}}+Z_{L}^{2}}~$
Theo bài ra ta có:
$P'=\dfrac{P}{3}\Leftrightarrow \dfrac{{{U}^{2}}150}{{{150}^{2}}+Z_{L}^{2}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{U}^{2}}150}{{{150}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}$
⇔ $3.\left[ {{150}^{2}}+\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right){{~}^{2}} \right]~=150{{~}^{2}}+Z_{L}^{2~}~$
⇔ $3.\left( {{150}^{2}}+Z_{L}^{2}-2.{{Z}_{L}}.{{Z}_{C}}+Z_{C}^{2} \right)~={{150}^{~2}}+~Z_{L}^{2}~$
⇔ ${{3.150}^{2}}+3Z_{L}^{2}-6{{Z}_{L}}.{{Z}_{C}}+3Z_{C}^{2}=150{{~}^{2}}+~Z_{L}^{2~}$
⇔ $2Z_{L}^{2}-\left( 6.{{Z}_{C}} \right).{{Z}_{L}}+3Z~_{C}^{2~}+45000=~0\left( 1 \right)$
⇔ $3Z_{C}^{2}-\left( 6{{Z}_{L}} \right).{{Z}_{C}}+2Z_{L}^{2}~+45000=~0\left( 2 \right)$
Xét phương trình bậc 2 đối với ẩn ZL. Điều kiện để (1) có nghiệm là:
$\Delta ={{\left( 6{{Z}_{C}} \right)}^{2}}-4.2.\left( 3Z_{C}^{2~}+45000 \right)~\ge ~0$
$\Leftrightarrow 36Z_{C}^{2}-24Z_{C}^{2~}-360000\ge ~0$
⇔ ${{Z}_{C}}\ge 173,2\Omega \Rightarrow {{Z}_{C~min}}~=173,2\Omega ~\left( *~ \right)$
Xét phương trình bậc 2 đối với ẩn ${{Z}_{C}}$. Điều kiện để (2) có nghiệm là:
$\Delta ={{\left( 6{{Z}_{L}} \right)}^{2}}-4.2.\left( 3Z_{C}^{2}~+45000 \right)~\ge ~0~$
⇔ $36Z_{L}^{2}-24Z_{C}^{2}~-540000\ge ~0$
⇔ ${{Z}_{L}}\ge 212,1\Omega \Rightarrow {{Z}_{L~min}}~=212,1\Omega ~\left( **~ \right)$
Từ (*) và (**) ta có:
${{Z}_{Lmin}}+{{Z}_{Cmin}}=173,2+212,1=385,3\Omega $
Đáp án A.