Có tất cả bao nhiêu số phức $w$ thỏa mãn điều kiện...

Đặt $w=x+yi$.
Điều kiện: $\overline{{{w}^{2}}}\ne 0\Leftrightarrow w\ne 0$
Ta có: $2w\overline{w}=1\Leftrightarrow {{\left| w \right|}^{2}}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\dfrac{1}{2}$.
Ta có: $\dfrac{w}{\overline{{{w}^{2}}}}=\dfrac{{{w}^{3}}}{{{\left| w \right|}^{4}}}=\dfrac{{{\left( x+yi \right)}^{3}}}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}yi-3x{{y}^{2}}-{{y}^{3}}i}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{3}}-3x{{y}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}}+\dfrac{3{{x}^{2}}y-{{y}^{3}}}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}}i$
Để $\dfrac{w}{\overline{{{w}^{2}}}}$ là số thuần ảo khi và chỉ khi ${{x}^{3}}-3x{{y}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=0 \\
{{x}^{2}}=3{{y}^{2}} \\
\end{matrix} \right.$
Với $x=0\Rightarrow y=\dfrac{\pm \sqrt{2}}{2}$.
Với ${{x}^{2}}=3{{y}^{2}}\Rightarrow 4{{y}^{2}}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow y=\dfrac{\pm \sqrt{2}}{4}$, với mỗi giá trị $y$ ta được 2 giá trị x nên có 4 cặp $\left( x,y \right)$.
Vậy có tất cả 6 số phức $w$ cần tìm.