Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số $m\in \left[ -1 , 1 \right]$ sao cho phương trình ${{\log }_{{{m}^{2}}+1}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)={{\log }_{2}}\left( 2x+2y-2 \right)$ có nghiệm nguyên $\left( x , y \right)$ duy nhất.
A. $3$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $0$.
A. $3$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $0$.
Điều kiện $\left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}+{{y}^{2}}>0 \\
2x+2y-2>0 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ne y\ne 0 \\
x+y>1 \\
\end{matrix} \right. \right.$.
Ta có ${{\log }_{{{m}^{2}}+1}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)={{\log }_{2}}\left( 2x+2y-2 \right)=t\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{t}} \\
2x+2y-2={{2}^{t}} \\
\end{matrix} \right.$.
Suy ra ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y+2={{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{t}}-{{2}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}={{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{t}}-{{2}^{t}}\ge 0\Rightarrow {{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{t}}\ge {{2}^{t}} \left( 1 \right)$.
Theo bài ra $m\in \left[ -1 , 1 \right]\Leftrightarrow {{m}^{2}}+1\in \left[ 1 , 2 \right]\Rightarrow {{m}^{2}}+1\le 2 \left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $\left[ \begin{matrix}
t\le 0 \\
{{m}^{2}}+1=2 \\
\end{matrix} \right.$.
Trường hợp 1. Với $t\le 0$. Ta có $2x+2y-2={{2}^{t}}\le {{2}^{0}}\Rightarrow x+y\le \frac{3}{2}$.
Kết hợp với điều kiện suy ra $1<x+y\le \frac{3}{2}$
Mà theo bài ra $x$, $y$ nguyên nên không có giá trị nào của $x$, $y$ thỏa mãn yêu cầu bài ra.
Trường hợp 2. Với ${{m}^{2}}+1=2\Leftrightarrow m=\pm 1$.
Khi đó ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}={{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{t}}-{{2}^{t}}={{2}^{t}}-{{2}^{t}}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x=1 \\
y=1 \\
\end{matrix} \right.$ (thỏa mãn).
Vậy với $m=\pm 1$ phương trình ${{\log }_{{{m}^{2}}+1}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)={{\log }_{2}}\left( 2x+2y-2 \right)$ có nghiệm nguyên $\left( x , y \right)$ duy nhất.
{{x}^{2}}+{{y}^{2}}>0 \\
2x+2y-2>0 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ne y\ne 0 \\
x+y>1 \\
\end{matrix} \right. \right.$.
Ta có ${{\log }_{{{m}^{2}}+1}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)={{\log }_{2}}\left( 2x+2y-2 \right)=t\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{t}} \\
2x+2y-2={{2}^{t}} \\
\end{matrix} \right.$.
Suy ra ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y+2={{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{t}}-{{2}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}={{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{t}}-{{2}^{t}}\ge 0\Rightarrow {{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{t}}\ge {{2}^{t}} \left( 1 \right)$.
Theo bài ra $m\in \left[ -1 , 1 \right]\Leftrightarrow {{m}^{2}}+1\in \left[ 1 , 2 \right]\Rightarrow {{m}^{2}}+1\le 2 \left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $\left[ \begin{matrix}
t\le 0 \\
{{m}^{2}}+1=2 \\
\end{matrix} \right.$.
Trường hợp 1. Với $t\le 0$. Ta có $2x+2y-2={{2}^{t}}\le {{2}^{0}}\Rightarrow x+y\le \frac{3}{2}$.
Kết hợp với điều kiện suy ra $1<x+y\le \frac{3}{2}$
Mà theo bài ra $x$, $y$ nguyên nên không có giá trị nào của $x$, $y$ thỏa mãn yêu cầu bài ra.
Trường hợp 2. Với ${{m}^{2}}+1=2\Leftrightarrow m=\pm 1$.
Khi đó ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}={{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{t}}-{{2}^{t}}={{2}^{t}}-{{2}^{t}}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x=1 \\
y=1 \\
\end{matrix} \right.$ (thỏa mãn).
Vậy với $m=\pm 1$ phương trình ${{\log }_{{{m}^{2}}+1}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)={{\log }_{2}}\left( 2x+2y-2 \right)$ có nghiệm nguyên $\left( x , y \right)$ duy nhất.
Đáp án B.