Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-2\left(3{{m}^{2}}-1 \right)x+\dfrac{2}{3}$ có hai điểm cực trị có hoành độ ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ sao cho ${{x}_{1}}{{x}_{2}}+2\left({{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=1$ ?
A. $1$.
B. $0$.
C. $3$.
D. $2$.
A. $1$.
B. $0$.
C. $3$.
D. $2$.
TXĐ: $D=\mathbb{R}$.
${y}'=2{{x}^{2}}-2mx-2\left( 3{{m}^{2}}-1 \right)$.
${y}'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx-3{{m}^{2}}+1=0\left( 1 \right)$.
Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực tri khi và chỉ khi phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4\left( -3{{m}^{2}}+1 \right)>0\Leftrightarrow 13{{m}^{2}}-4>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>\dfrac{2}{\sqrt{13}} \\
& m<\dfrac{-2}{\sqrt{13}} \\
\end{aligned} \right.$.
Theo định lý Vi-et: ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=-3{{m}^{2}}+1; {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m$.
Theo đề bài, ta có:
${{x}_{1}}{{x}_{2}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=1\Leftrightarrow -3{{m}^{2}}+1+2m=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=\dfrac{2}{3} \left( \text{nhan} \right) \\
& m=0 \left( \text{loai} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có $1$ giá trị thực của $m$ thoả yêu cầu bài toán.
${y}'=2{{x}^{2}}-2mx-2\left( 3{{m}^{2}}-1 \right)$.
${y}'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx-3{{m}^{2}}+1=0\left( 1 \right)$.
Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực tri khi và chỉ khi phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4\left( -3{{m}^{2}}+1 \right)>0\Leftrightarrow 13{{m}^{2}}-4>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>\dfrac{2}{\sqrt{13}} \\
& m<\dfrac{-2}{\sqrt{13}} \\
\end{aligned} \right.$.
Theo định lý Vi-et: ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=-3{{m}^{2}}+1; {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m$.
Theo đề bài, ta có:
${{x}_{1}}{{x}_{2}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=1\Leftrightarrow -3{{m}^{2}}+1+2m=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=\dfrac{2}{3} \left( \text{nhan} \right) \\
& m=0 \left( \text{loai} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có $1$ giá trị thực của $m$ thoả yêu cầu bài toán.
Đáp án A.