Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn $\left[ -2020 ; 2020 \right]$ của tham số $m$ để đường thẳng $y=x+m$ cắt đồ thị hàm số...

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là
$\frac{2x-3}{x-1}=x+m$ (điều kiện $x\ne 1$ )
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( m-3 \right)x+3-m=0$ (1).
Vậy ycbt $\Leftrightarrow $ (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta ={{\left( m-3 \right)}^{2}}-4\left( 3-m \right)>0 \\
& 1+m-3+3-m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-2m-3>0 \\
& 1\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<-1 \\
& m>3 \\
\end{aligned} \right.$.
Mà $m\in \left[ -2020 ; 2020 \right]$ nên $\left[ \begin{aligned}
& -2020\le m<-1 \\
& 3<m\le 2020 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có tất cả 4036 số nguyên $m$ thỏa mãn đề bài.