Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $y$ sao cho tương ứng với...

Điều kiện $\{\begin{array}{rl}& x+y^2>0\\ & x-y>0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{rl}& x^2+y>0\\ & x>y\end{array}$.
Ta có bất phương trình ${\log }_{2021}(x+y^2)+{\log }_{2022}(y^2+y+16)-{\log }_2(x-y)\ge 0$
Xét $f\left(x\right)={\log }_{2021}(x+y^2)+{\log }_{2022}(y^2+y+16)-{\log }_2(x-y)$ với $x>y$, $y\in \mathbb{Z}$.
Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{(x+y^2)\ln 2021}}-{\displaystyle \frac{1}{(x-y)\ln 2}}={\displaystyle \frac{x(\ln 2-\ln 2021)-y\ln 2-y^2\ln 2021}{(x+y^2).(x-y).\ln 2021.\ln 2}}$.
Ta có: $x>y\Rightarrow x(\ln 2-\ln 2021)<y(\ln 2-\ln 2021)$
Suy ra $x(\ln 2-\ln 2021)-y\ln 2-y^2\ln 2021<(-y^2-y)\ln 2021<0,\mathrm{\forall }y\in \mathbb{Z}$.
Do đó $f^{\prime }\left(x\right)<0,\mathrm{\forall }x>y,y\in \mathbb{Z}$.
Ta có bảng biến thiên của $f\left(x\right)$ là:
Yêu cầu bài toán $\iff f(y+16)<0$
$\iff {\log }_{2021}(y^2+y+16)+{\log }_{2022}(y^2+y+16)<{\log }_{2}16$
$\iff {\log }_{2021}(y^2+y+16)+{\displaystyle \frac{{\log }_{2021}(y^2+y+16)}{{\log }_{2021}2022}}<4$
$\iff {\log }_{2021}(y^2+y+16)<{\displaystyle \frac{4}{1+{\log }_{2022}2021}}\approx 2,00$
$\iff y^2+y+16<{2021}^{{\displaystyle \frac{4}{1+{\log }_{2022}2021}}}\iff -2021,99\le y\le 2020,99$.
Do $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \{-2021;-2020;...;2020\}$.
Vậy có tất cả $4041$ giá trị nguyên $y$ thỏa yêu cầu bài toán.