Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $y$ sao cho tương ứng với mỗi giá trị $y$ luôn tồn tại không quá 15 số nguyên $x$ thỏa mãn điều kiện ${{\log }_{2021}}\left( x+{{y}^{2}} \right)+{{\log }_{2022}}\left( {{y}^{2}}+y+16 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( x-y \right)$ ?
A. $2021$.
B. $4042$.
C. $2020$.
D. $4041$.
A. $2021$.
B. $4042$.
C. $2020$.
D. $4041$.
Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& x+{{y}^{2}}>0 \\
& x-y>0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+y>0 \\
& x>y \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có bất phương trình ${{\log }_{2021}}\left( x+{{y}^{2}} \right)+{{\log }_{2022}}\left( {{y}^{2}}+y+16 \right)-{{\log }_{2}}\left( x-y \right)\ge 0$
Xét $f\left( x \right)={{\log }_{2021}}\left( x+{{y}^{2}} \right)+{{\log }_{2022}}\left( {{y}^{2}}+y+16 \right)-{{\log }_{2}}\left( x-y \right)$ với $x>y$, $y\in \mathbb{Z}$.
Ta có: $f'\left( x \right)=\dfrac{1}{\left( x+{{y}^{2}} \right)\ln 2021}-\dfrac{1}{\left( x-y \right)\ln 2}=\dfrac{x\left( \ln 2-\ln 2021 \right)-y\ln 2-{{y}^{2}}\ln 2021}{\left( x+{{y}^{2}} \right).\left( x-y \right).\ln 2021.\ln 2}$.
Ta có: $x>y\Rightarrow x\left( \ln 2-\ln 2021 \right)<y\left( \ln 2-\ln 2021 \right)$
Suy ra $x\left( \ln 2-\ln 2021 \right)-y\ln 2-{{y}^{2}}\ln 2021<\left( -{{y}^{2}}-y \right)\ln 2021<0,\forall y\in \mathbb{Z}$.
Do đó $f'\left( x \right)<0,\forall x>y,y\in \mathbb{Z}$.
Ta có bảng biến thiên của $f\left( x \right)$ là:
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow f\left( y+16 \right)<0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2021}}\left( {{y}^{2}}+y+16 \right)+{{\log }_{2022}}\left( {{y}^{2}}+y+16 \right)<{{\log }_{2}}16$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2021}}\left( {{y}^{2}}+y+16 \right)+\dfrac{{{\log }_{2021}}\left( {{y}^{2}}+y+16 \right)}{{{\log }_{2021}}2022}<4$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2021}}\left( {{y}^{2}}+y+16 \right)<\dfrac{4}{1+{{\log }_{2022}}2021}\approx 2,00$
$\Leftrightarrow {{y}^{2}}+y+16<{{2021}^{\dfrac{4}{1+{{\log }_{2022}}2021}}}\Leftrightarrow -2021,99\le y\le 2020,99$.
Do $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{ -2021;-2020;...;2020 \right\}$.
Vậy có tất cả $4041$ giá trị nguyên $y$ thỏa yêu cầu bài toán.
& x+{{y}^{2}}>0 \\
& x-y>0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+y>0 \\
& x>y \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có bất phương trình ${{\log }_{2021}}\left( x+{{y}^{2}} \right)+{{\log }_{2022}}\left( {{y}^{2}}+y+16 \right)-{{\log }_{2}}\left( x-y \right)\ge 0$
Xét $f\left( x \right)={{\log }_{2021}}\left( x+{{y}^{2}} \right)+{{\log }_{2022}}\left( {{y}^{2}}+y+16 \right)-{{\log }_{2}}\left( x-y \right)$ với $x>y$, $y\in \mathbb{Z}$.
Ta có: $f'\left( x \right)=\dfrac{1}{\left( x+{{y}^{2}} \right)\ln 2021}-\dfrac{1}{\left( x-y \right)\ln 2}=\dfrac{x\left( \ln 2-\ln 2021 \right)-y\ln 2-{{y}^{2}}\ln 2021}{\left( x+{{y}^{2}} \right).\left( x-y \right).\ln 2021.\ln 2}$.
Ta có: $x>y\Rightarrow x\left( \ln 2-\ln 2021 \right)<y\left( \ln 2-\ln 2021 \right)$
Suy ra $x\left( \ln 2-\ln 2021 \right)-y\ln 2-{{y}^{2}}\ln 2021<\left( -{{y}^{2}}-y \right)\ln 2021<0,\forall y\in \mathbb{Z}$.
Do đó $f'\left( x \right)<0,\forall x>y,y\in \mathbb{Z}$.
Ta có bảng biến thiên của $f\left( x \right)$ là:
$\Leftrightarrow {{\log }_{2021}}\left( {{y}^{2}}+y+16 \right)+{{\log }_{2022}}\left( {{y}^{2}}+y+16 \right)<{{\log }_{2}}16$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2021}}\left( {{y}^{2}}+y+16 \right)+\dfrac{{{\log }_{2021}}\left( {{y}^{2}}+y+16 \right)}{{{\log }_{2021}}2022}<4$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2021}}\left( {{y}^{2}}+y+16 \right)<\dfrac{4}{1+{{\log }_{2022}}2021}\approx 2,00$
$\Leftrightarrow {{y}^{2}}+y+16<{{2021}^{\dfrac{4}{1+{{\log }_{2022}}2021}}}\Leftrightarrow -2021,99\le y\le 2020,99$.
Do $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{ -2021;-2020;...;2020 \right\}$.
Vậy có tất cả $4041$ giá trị nguyên $y$ thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án D.