Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $y$ sao cho tương ứng với mỗi $y$ luôn tồn tạikhông quá 63 số nguyên $x$ thỏa mãn điều kiện ${{\log...

Cách giải:
Đặt $f\left( x \right)={{\log }_{2020}}\left( x+{{y}^{2}} \right)+{{\log }_{2021}}\left( {{y}^{2}}+y+64 \right)-{{\log }_{4}}\left( x-y \right)$ (coi $y$ là tham số).
Điều kiện xác định của $f\left( x \right)$ là: $\left\{ \begin{aligned}
& x+{{y}^{2}}>0 \\
& {{y}^{2}}+y+64>0 \\
& x-y>0 \\
\end{aligned} \right.$
Do $x,y$ nguyên nên $x>y\ge -{{y}^{2}}.$ Cũng vì $x,y$ nguyên nên ta chỉ xét $f\left( x \right)$ trên nửa khoảng $\left[ y+1;+\infty \right).$ Ta có:
$f'\left( x \right)=\dfrac{1}{\left( x+{{y}^{2}} \right)\ln 2020}-\dfrac{1}{\left( x-y \right)\ln 2021}-\dfrac{1}{\left( x-y \right)\ln 4}<0,\forall x\ge y+1$
Ta có bảng biển thiên của hàm số $f\left( x \right):$

Yêu cầu bài toán trở thành: $f\left( y+64 \right)<0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2020}}\left( {{y}^{2}}+y+64 \right)+{{\log }_{2021}}\left( {{y}^{2}}+y+64 \right)<{{\log }_{4}}64$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2021}}\left( {{y}^{2}}+y+64 \right)\left( {{\log }_{2020}}2021+1 \right)<3$
$\Leftrightarrow {{y}^{2}}+y+64-{{2021}^{\dfrac{3}{{{\log }_{2020}}2021+1}}}<0$
$\Leftrightarrow -301,76<y<300,76$
Mà $y$ nguyên nên $y\in \left\{ -301;-300;...;299;300 \right\}.$
Vậy có 602 giá trị nguyên của $y$ thỏa mãn yêu cầu.