Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $y$ sao cho tương ứng với mỗi $y$ luôn tồn tạikhông quá 63 số nguyên $x$ thỏa mãn điều kiện ${{\log...

Cách giải:
Đặt $f\left(x\right)={\log }_{2020}(x+y^2)+{\log }_{2021}(y^2+y+64)-{\log }_4(x-y)$ (coi $y$ là tham số).
Điều kiện xác định của $f\left(x\right)$ là: $\{\begin{array}{rl}& x+y^2>0\\ & y^2+y+64>0\\ & x-y>0\end{array}$
Do $x,y$ nguyên nên $x>y\ge -y^2.$ Cũng vì $x,y$ nguyên nên ta chỉ xét $f\left(x\right)$ trên nửa khoảng $[y+1;+\mathrm{\infty }).$ Ta có:
$f^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{(x+y^2)\ln 2020}}-{\displaystyle \frac{1}{(x-y)\ln 2021}}-{\displaystyle \frac{1}{(x-y)\ln 4}}<0,\mathrm{\forall }x\ge y+1$
Ta có bảng biển thiên của hàm số $f\left(x\right):$

Yêu cầu bài toán trở thành: $f(y+64)<0$
$\iff {\log }_{2020}(y^2+y+64)+{\log }_{2021}(y^2+y+64)<{\log }_{4}64$
$\iff {\log }_{2021}(y^2+y+64)({\log }_{2020}2021+1)<3$
$\iff y^2+y+64-{2021}^{{\displaystyle \frac{3}{{\log }_{2020}2021+1}}}<0$
$\iff -301,76<y<300,76$
Mà $y$ nguyên nên $y\in \{-301;-300;...;299;300\}.$
Vậy có 602 giá trị nguyên của $y$ thỏa mãn yêu cầu.