Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $y$ sao cho tương ứng mỗi $y$ luôn tồn tại không quá $63$ số nguyên $x$ thỏa mãn điều kiện $lo{{g}_{2020}}\left( x+{{y}^{2}} \right)+lo{{g}_{2021}}\left( {{y}^{2}}+y+64 \right)\ge lo{{g}_{4}}\left( x-y \right)$
A. $602$.
B. $302$.
C. $301$.
D. $2$.
A. $602$.
B. $302$.
C. $301$.
D. $2$.
Đặt $f\left( x \right)=lo{{g}_{2020}}\left( x+{{y}^{2}} \right)+lo{{g}_{2021}}\left( {{y}^{2}}+y+64 \right)-lo{{g}_{4}}\left( x-y \right)$ (coi $y$ là tham số).
Điều kiện xác định của $f\left( y \right)$ là : $\left\{ \begin{aligned}
& x+{{y}^{2}}>0 \\
& {{y}^{2}}+y+64>0 \\
& x-y>0 \\
\end{aligned} \right.$.
Do $x , y$ nguyên nên $x>y\ge -{{y}^{2}}$. Cũng vì $x , y$ nguyên nên ta chỉ cần xét $f\left( y \right)$ trên nửa khoảng $\left[ y+1 ; +\infty \right)$. Ta có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{\left( x+{{y}^{2}} \right)ln2020}-\dfrac{1}{\left( x-y \right)ln4}<0 , \forall x\ge y+1.$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$
Yêu cầu bài toán trở thành:
$f\left( y+64 \right)<0 \Leftrightarrow lo{{g}_{2020}}\left( {{y}^{2}}+y+64 \right)+lo{{g}_{2021}}\left( {{y}^{2}}+y+64 \right)<lo{{g}_{4}}64$
$\Leftrightarrow lo{{g}_{2021}}\left( {{y}^{2}}+y+64 \right).\left( lo{{g}_{2020}}2021+1 \right)<3$
$\Leftrightarrow {{y}^{2}}+y+64-{{2021}^{\dfrac{3}{lo{{g}_{2020}}2021+1}}}<0$
$\Rightarrow -301,76<y<300,76$
Mà $y$ nguyên nên $y\in \left\{ -301 ; -300 ; ... ; 299 ; 300 \right\}$. Vậy có $602$ giá trị nguyên của $y$ thỏa mãn yêu cầu.
Điều kiện xác định của $f\left( y \right)$ là : $\left\{ \begin{aligned}
& x+{{y}^{2}}>0 \\
& {{y}^{2}}+y+64>0 \\
& x-y>0 \\
\end{aligned} \right.$.
Do $x , y$ nguyên nên $x>y\ge -{{y}^{2}}$. Cũng vì $x , y$ nguyên nên ta chỉ cần xét $f\left( y \right)$ trên nửa khoảng $\left[ y+1 ; +\infty \right)$. Ta có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{\left( x+{{y}^{2}} \right)ln2020}-\dfrac{1}{\left( x-y \right)ln4}<0 , \forall x\ge y+1.$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$
Yêu cầu bài toán trở thành:
$f\left( y+64 \right)<0 \Leftrightarrow lo{{g}_{2020}}\left( {{y}^{2}}+y+64 \right)+lo{{g}_{2021}}\left( {{y}^{2}}+y+64 \right)<lo{{g}_{4}}64$
$\Leftrightarrow lo{{g}_{2021}}\left( {{y}^{2}}+y+64 \right).\left( lo{{g}_{2020}}2021+1 \right)<3$
$\Leftrightarrow {{y}^{2}}+y+64-{{2021}^{\dfrac{3}{lo{{g}_{2020}}2021+1}}}<0$
$\Rightarrow -301,76<y<300,76$
Mà $y$ nguyên nên $y\in \left\{ -301 ; -300 ; ... ; 299 ; 300 \right\}$. Vậy có $602$ giá trị nguyên của $y$ thỏa mãn yêu cầu.
Đáp án A.