Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${{x}^{4}}+\dfrac{16}{{{x}^{4}}}+4\left( {{x}^{2}}+\dfrac{4}{{{x}^{2}}}...

Phương pháp:
- Đặt ẩn phụ $x-\dfrac{2}{x}=t,$ đưa phương trình về dạng $m=f\left( t \right),$ với $t\in \left[ a;b \right].$
- Tìm đạo hàm và lập bảng biến thiên hàm số $f\left( t \right)$ trên $\left[ a;b \right]$ và tìm các giá trị $m$ thỏa mãn.
Cách giải:
Đặt $x-\dfrac{2}{x}=t$ ta có: $t'=\left( x-\dfrac{2}{x} \right)'=1+\dfrac{2}{{{x}^{2}}}>0\Rightarrow $ Hàm số $t\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 1;2 \right].$
Do đó $x\in \left[ 1;2 \right]\Rightarrow t\in \left[ -1;1 \right].$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{t}^{2}}={{x}^{2}}+\dfrac{4}{{{x}^{2}}}-4\Rightarrow {{x}^{2}}+\dfrac{4}{{{x}^{2}}}={{t}^{2}}+4 \\
& {{x}^{4}}+\dfrac{16}{{{x}^{4}}}={{\left( {{x}^{2}}+\dfrac{4}{{{x}^{2}}} \right)}^{2}}-8={{\left( {{t}^{2}}+4 \right)}^{2}}-8 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó phương trình đã cho có dạng
${{\left( {{t}^{2}}+4 \right)}^{2}}-8+4\left( {{t}^{2}}+4 \right)-12t=m$ có nghiệm $t\in \left[ -1;1 \right]$
$\Leftrightarrow {{t}^{4}}+8{{t}^{2}}+16-8+4{{t}^{2}}+16-12t=m$ có nghiệm $t\in \left[ -1;1 \right]$.
$\Leftrightarrow {{t}^{4}}+12{{t}^{2}}-12t+24=m$ có nghiệm $t\in \left[ -1;1 \right]\left( * \right).$
Xét $f\left( t \right)={{t}^{4}}+12{{t}^{2}}-12t+24\Rightarrow f'\left( t \right)=4{{t}^{3}}+24t-12=0\Rightarrow t\approx 0,48$
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta suy ra $\left( * \right)\Leftrightarrow 21,06\le m\le 49,m\in \mathbb{Z}.$
Vậy có 28 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.