Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\dfrac{mx+10}{2x+m}$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;2 \right).$

Điều kiện xác định của hàm số: $x\ne \dfrac{-m}{2}$
Ta có $y'=\dfrac{{{m}^{2}}-20}{{{\left( 2x+m \right)}^{2}}}$
Để hàm số $y=\dfrac{mx+10}{2x+m}$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y'<0\forall x\in \left( 0;2 \right) \\
& -\dfrac{m}{2}\notin \left( 0;2 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-20<0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& \dfrac{-m}{2}\le 0 \\
& \dfrac{-m}{2}\ge 2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\in \left( -2\sqrt{5};2\sqrt{5} \right) \\
& m\in \left( -\infty -4 \right]\cup \left[ 0;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\in \left( -2\sqrt{5};-4 \right]\cup \left[ 0;2\sqrt{5} \right).$
Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số $m.$