Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\dfrac{m}{3}{{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}+\left( 3m+5 \right)x$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$
*) Nếu $m=0$ ta có $y=5x.$ Đồ thị hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}.$
*) Nếu $m\ne 0.$ Ta có: $y'=m{{x}^{2}}-4mx+3m+5.$
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}.$
$\Leftrightarrow m{{x}^{2}}-4mx+3m+5\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta '\le 0 \\
& a>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4{{m}^{2}}-m\left( 3m+5 \right)\le 0 \\
& m>0 \\
\end{aligned} \right..$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-5m\le 0 \\
& m>0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0\le m\le 5 \\
& m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0<m\le 5$
Kết hợp với điều kiện ta có: $0<m\le 5.$
Vậy $0<m\le 5,m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 0;1;2;3;4;5 \right\}.$