Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y=\left|...

Xét $f\left( x \right)={{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+12x+2m$. Ta có ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2mx+12$ và $f\left( 1 \right)=13+m$.
Để hàm số $y=\left| {{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+12x+2m \right|$ đồng biến trên khoảng $\left( 1 ; +\infty \right)$ thì có hai trường hợp sau
Trường hợp 1: Hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( 1 ; +\infty \right)$ và $f\left( 1 \right)\le 0$.
Điều này không xảy ra vì $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left( {{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+12x+2m \right)=+\infty $.
Trường hợp 2: Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 1 ; +\infty \right)$ và $f\left( 1 \right)\ge 0$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3{{x}^{2}}-2mx+12\ge 0 , \forall x>1 \\
& 13+m\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le \dfrac{3}{2}x+\dfrac{6}{x} , \forall x>1 \\
& m\ge -13\quad \quad \quad \left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Xét $g\left( x \right)=\dfrac{3}{2}x+\dfrac{6}{x}$ trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$ : ${g}'\left( x \right)=\dfrac{3}{2}-\dfrac{6}{{{x}^{2}}}$ ; ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{3}{2}-\dfrac{6}{{{x}^{2}}}=0\Rightarrow x=2$.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra $m\le \dfrac{3}{2}x+\dfrac{6}{x} , \forall x>1$ $\Leftrightarrow m\le 6$.
Kết hợp $\left( * \right)$ suy ra $-13\le m\le 6$. Vì $m$ nguyên nên $m\in \left\{ -13;-12;-11;...;5;6 \right\}$. Vậy có $20$ giá trị nguyên của $m$.