Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y=\left| {{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+12x+2m \right|$ luôn đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)?$

Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+12x+2m$ trên $\left( 1;+\infty \right)$.
$f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2mx+12$
TH1: $\Delta '={{m}^{2}}-36\le 0\Leftrightarrow -6\le m\le 6.$
Khi đó $f\left( x \right)={{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+12x+2m$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Để hàm số $y=\left| {{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+12x+2m \right|$ luôn đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)$.
$\Rightarrow f\left( 1 \right)\ge 0\Leftrightarrow m+13\ge 0\Leftrightarrow m\ge -13.$
Suy ra $-6\le m\le 6.$ Có 13 giá trị nguyên thỏa mãn.
TH2: $\Delta '={{m}^{2}}-36>0\Leftrightarrow m<-6\vee m>6.$
Khi đó $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2mx+12$ phải có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<1.$
Yêu cầu bài toán
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\in \left( -\infty ;-6 \right)\cup \left( 6;+\infty \right) \\
& \left( {{x}_{1}}-1 \right)+\left( {{x}_{2}}-1 \right)<0 \\
& \left( {{x}_{1}}-1 \right).\left( {{x}_{2}}-1 \right)>0 \\
& f\left( 1 \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\in \left( -\infty ;-6 \right)\cup \left( 6;+\infty \right) \\
& S-2<0 \\
& P-S+1>0 \\
& m\ge -13 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\in \left( -\infty ;-6 \right)\cup \left( 6;+\infty \right) \\
& \dfrac{2m}{3}-2<0 \\
& 4-\dfrac{2m}{3}+1>0 \\
& m\ge -13 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\in \left( -\infty ;-6 \right)\cup \left( 6;+\infty \right) \\
& m<3 \\
& m<\dfrac{15}{2} \\
& m\ge -13 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -13\le m<-6.$
Có 7 giá trị nguyên thỏa.
Vậy có 20 giá trị nguyên thỏa yêu cầu bài toán.