Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu giá trị m nguyên dương để hàm số $y={{3}^{\dfrac{1}{\sqrt{-{{x}^{2}}+mx+2m+1}}}}$ xác định với mọi $x\in \left( 1;2 \right)$.
A. 1.
B. Vô số.
C. 4.
D. 10.
A. 1.
B. Vô số.
C. 4.
D. 10.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+mx+2m+1>0,\forall x\in \left( 1;2 \right)$
$\Leftrightarrow m\left( x+2 \right)>{{x}^{2}}-1,\forall x\in \left( 1;2 \right)\Leftrightarrow m>\dfrac{{{x}^{2}}-1}{x+2},\forall x\in \left( 1;2 \right)$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}-1}{x+2}$, với $x\in \left( 1;2 \right)$
${f}'(x)=\dfrac{{{x}^{2}}+4x+1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}},{f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-2-\sqrt{3}\notin \left( 1;2 \right) \\
& x=-2+\sqrt{3}\notin \left( 1;2 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {f}'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( 1;2 \right)$
Dựa vào bảng biến thiên có $m>\dfrac{{{x}^{2}}-1}{x+2},\forall x\in \left( 1;2 \right)$ khi $m\ge \dfrac{3}{4}$. Vậy $m\ge \dfrac{3}{4}$.
$\Leftrightarrow m\left( x+2 \right)>{{x}^{2}}-1,\forall x\in \left( 1;2 \right)\Leftrightarrow m>\dfrac{{{x}^{2}}-1}{x+2},\forall x\in \left( 1;2 \right)$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}-1}{x+2}$, với $x\in \left( 1;2 \right)$
${f}'(x)=\dfrac{{{x}^{2}}+4x+1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}},{f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-2-\sqrt{3}\notin \left( 1;2 \right) \\
& x=-2+\sqrt{3}\notin \left( 1;2 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {f}'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( 1;2 \right)$
Dựa vào bảng biến thiên có $m>\dfrac{{{x}^{2}}-1}{x+2},\forall x\in \left( 1;2 \right)$ khi $m\ge \dfrac{3}{4}$. Vậy $m\ge \dfrac{3}{4}$.
Đáp án B.