Có tất cả bao nhiêu giá trị m nguyên dương để hàm số...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu giá trị m nguyên dương để hàm số

y = 3^{\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + m x + 2 m + 1}}}

xác định với mọi

x \in (1; 2)

.

A. 1.
B. Vô số.
C. 4.
D. 10.

Yêu cầu bài toán

\Leftrightarrow - x^{2} + m x + 2 m + 1 > 0, \forall x \in (1; 2)

\Leftrightarrow m (x + 2) > x^{2} - 1, \forall x \in (1; 2) \Leftrightarrow m > \frac{x^{2} - 1}{x + 2}, \forall x \in (1; 2)

.
Xét hàm số

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 2}

, với

x \in (1; 2)

f^{'} (x) = \frac{x^{2} + 4 x + 1}{{(x + 2)}^{2}}, f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = - 2 - \sqrt{3} \notin (1; 2) \\ x = - 2 + \sqrt{3} \notin (1; 2) \end{aligned} \Rightarrow f^{'} (x) > 0, \forall x \in (1; 2)

Dựa vào bảng biến thiên có

m > \frac{x^{2} - 1}{x + 2}, \forall x \in (1; 2)

khi

m \geq \frac{3}{4}

. Vậy

m \geq \frac{3}{4}

.

Đáp án B.