Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để phương trình...

Phương trình đã cho tương đương: $\left\{ \begin{aligned}
& x>-2 \\
& {{x}^{2}}-(m-1)x+{{m}^{2}}-6m+2=x+2 \\
\end{aligned} \right.$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>-2 \\
& {{x}^{2}}-mx+{{m}^{2}}-6m=0 \left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$
Yêu cầu đề bài khi và chỉ khi phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$ thỏa $-2<{{x}_{1}}<0<{{x}_{2}}$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}<0 \\
& \left( {{x}_{1}}+2 \right)\left( {{x}_{2}}+2 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}<0 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+4>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-6m<0 \\
& {{m}^{2}}-4m+4>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0<m<6 \\
& m\ne 2 \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 1; 3; 4; 5 \right\}$.
Suy ra có $4$ giá trị của tham số $m$ thoả mãn điều kiện bài toán.