Có tất cả bao nhiêu đường thẳng cắt đồ thị hàm số $y=\frac{2x+3}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt mà hai giao điểm đó có hoành độ và tung độ là các số...

Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.$
Ta có $y=\frac{2x+3}{x-1}=2+\frac{5}{x-1}$.
Ta tìm trên đồ thị các điểm có tọa độ là các số nguyên:
Để $y\in \mathbb{Z}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 5\vdots \left( x-1 \right) \\
& x-1\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x-1=5 \\
& x-1=-5 \\
& x-1=1 \\
& x-1=-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=6 \\
& x=- 4 \\
& x=2 \\
& x=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra trên đồ thị hàm số $y=\frac{2x+3}{x-1}$ có 4 điểm có tọa độ là các số nguyên.
Số đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt mà hai giao điểm đó có hoành độ và tung độ là các số nguyên là $C_{4}^{2}=6$.