Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên x và y sao cho đẳng thức sau...

Cách giải:
Ta có:
${{\log }_{2021}}{{\left( {{4}^{x}}-{{2}^{x+1}}+2022 \right)}^{{{y}^{2}}+101}}=20y+1$
$\Leftrightarrow \left( {{y}^{2}}+101 \right){{\log }_{2021}}\left( {{4}^{x}}-{{2}^{x+1}}+2022 \right)=20y+1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2021}}\left( {{4}^{x}}-{{2}^{x+1}}+2022 \right)=\dfrac{20y+1}{{{y}^{2}}+101}$
Vì ${{\left( y-10 \right)}^{2}}\ge 0\forall y\Leftrightarrow {{y}^{2}}-20y+100\ge 0\forall y$
$\Leftrightarrow {{y}^{2}}+101\ge 20y+1\forall y\Rightarrow \dfrac{20y+1}{{{y}^{2}}+101}\le 1\forall y$
$\Rightarrow {{\log }_{2021}}\left( {{4}^{x}}-{{2}^{x+1}}+2022 \right)\le 1$
$\Leftrightarrow {{4}^{x}}-{{2.2}^{x}}+1\le 0$
$\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}}-1 \right)}^{2}}\le 0$
$\Leftrightarrow {{2}^{x}}-1=0\Leftrightarrow x=0$
Với $x=0$ thì dấu "=" xảy ra, khi đó ${{\left( y-10 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow y=10.$
Vậy có duy nhất 1 cặp số nguyên x và y thỏa mãn yêu cầu bài toán.