Có tất cả bao nhiêu cặp số $\left( a, b \right)$ với $a, b$ là các...

Với $a, b$ là các số nguyên dương, ta có
$\begin{array}{l}
\quad \log _{3}(a+b)+(a+b)^{3}=3\left(a^{2}+b^{2}\right)+3 a b(a+b-1)+1 \\
\Leftrightarrow \quad \log _{3} \dfrac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+b^{2}-a b}+a^{3}+b^{3}+3 a b(a+b)=3\left(a^{2}+b^{2}-a b\right)+3 a b(a+b)+1 \\
\Leftrightarrow \quad \log _{3}\left(a^{3}+b^{3}\right)+a^{3}+b^{3}=\log _{3}\left[3\left(a^{2}+b^{2}-a b\right)\right]+3\left(a^{2}+b^{2}-a b\right)
\end{array}$
Xét hàm số $f(t)=\log _{3} t+t$ trên $(0 ;+\infty)$
$f^{\prime}(t)=\dfrac{1}{t \ln 3}+1>0, \forall t>0$ nên hàm số $f(t)$ đồng biển trên $(0 ;+\infty)$
Khi đó, phương trình (1) trở thành
$\begin{matrix}
f\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}} \right)=f\left[ 3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab \right) \right] \\
\Leftrightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab \right) \\
\end{matrix}$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow\left(a^{2}+b^{2}-a b\right)(a+b-3)=0 \\
\Leftrightarrow\left[a^{2}+b^{2}-a b=0(*)\right. \\
a+b-3=0
\end{array}$
Do $a,b\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ nên phưong trinh $(*)$ vô nghiệm. Suy ra $a+b=3$ Mà $a, b$ là các sổ nguyên dương nên $\left\{\begin{array}{l}0<a<3 \\ 0<b<3 \\ a+b=3 \\ a, b \in \mathbb{N}^{*}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=1 \\ b=1 \\ b=2\end{array}\right.\right.$
Vậy có hai cặp số $\left( a, b \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.