Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu cặp số $\left( a;b \right)$ với $a,b$ là các số nguyên dương thỏa mãn:
B. $3$.
C. $4$.
D. Vô số.
${{\log }_{5}}\left( a+b \right)+{{\left( a+b \right)}^{3}}=5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+ab\left( 3a+3b-5 \right)+1$.
A. $2$.B. $3$.
C. $4$.
D. Vô số.
Với $a,b$ là các số nguyên dương, ta có:
${{\log }_{5}}\left( a+b \right)+{{\left( a+b \right)}^{3}}=5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+ab\left( 3a+3b-5 \right)+1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\dfrac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}{{{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}}+{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+3ab\left( a+b \right)=5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab \right)+3ab\left( a+b \right)+1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}} \right)+{{a}^{3}}+{{b}^{3}}={{\log }_{5}}\left[ 5\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right) \right]+5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab \right) \left( 1 \right)$
Xét hàm số: $f\left( t \right)={{\log }_{5}}t+t$ trên $\left( 0;+\infty \right)$.
$f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 5}+1>0, \forall t>0$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Khi đó, phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành :
$\begin{aligned}
& f\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}} \right)=f\left[ 5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab \right) \right]\Leftrightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab \right)\Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab \right)\left( a+b-5 \right)=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab=0 \left( 2 \right) \\
& a+b-5=0 \left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.. \\
\end{aligned}$
Do $a,b\in \mathbb{N}_{{}}^{*}$ nên phương trình $\left( 2 \right)$ vô nghiệm. Từ $\left( 3 \right)$ suy ra: $a+b=5$.
Mà $a,b$ là các số nguyên dương nên $\left\{ \begin{aligned}
& 0<a<5 \\
& 0<b<5 \\
& a+b=5 \\
& a,b\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\
\end{aligned} \right.$.
nên $\left( a;b \right)\in \left\{ \left( 1,4 \right);\left( 4,1 \right);\left( 2,3 \right);\left( 3;2 \right) \right\}$.
Vậy có 4 cặp số $\left( a;b \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
${{\log }_{5}}\left( a+b \right)+{{\left( a+b \right)}^{3}}=5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+ab\left( 3a+3b-5 \right)+1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\dfrac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}{{{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}}+{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+3ab\left( a+b \right)=5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab \right)+3ab\left( a+b \right)+1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}} \right)+{{a}^{3}}+{{b}^{3}}={{\log }_{5}}\left[ 5\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right) \right]+5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab \right) \left( 1 \right)$
Xét hàm số: $f\left( t \right)={{\log }_{5}}t+t$ trên $\left( 0;+\infty \right)$.
$f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 5}+1>0, \forall t>0$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Khi đó, phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành :
$\begin{aligned}
& f\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}} \right)=f\left[ 5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab \right) \right]\Leftrightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab \right)\Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab \right)\left( a+b-5 \right)=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab=0 \left( 2 \right) \\
& a+b-5=0 \left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.. \\
\end{aligned}$
Do $a,b\in \mathbb{N}_{{}}^{*}$ nên phương trình $\left( 2 \right)$ vô nghiệm. Từ $\left( 3 \right)$ suy ra: $a+b=5$.
Mà $a,b$ là các số nguyên dương nên $\left\{ \begin{aligned}
& 0<a<5 \\
& 0<b<5 \\
& a+b=5 \\
& a,b\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\
\end{aligned} \right.$.
nên $\left( a;b \right)\in \left\{ \left( 1,4 \right);\left( 4,1 \right);\left( 2,3 \right);\left( 3;2 \right) \right\}$.
Vậy có 4 cặp số $\left( a;b \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án C.