Có tất cả bao nhiêu cặp số $(a, b)$ với $a, b$ là các sổ nguyên...

Với $a, b$ là các số nguyên dương, ta có
$\begin{array}{*{35}{l}}
\quad {{\log }_{3}}(a+b)+{{(a+b)}^{3}}\le 3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+3ab(a+b-1)+1 \\
\Leftrightarrow \quad {{\log }_{3}}\dfrac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab}+{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+3ab(a+b)\le 3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab \right)+3ab(a+b)+1 \\
\Leftrightarrow \quad {{\log }_{3}}\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}} \right)+{{a}^{3}}+{{b}^{3}}\le {{\log }_{3}}\left[ 3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab \right) \right]+3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab \right) \\
\end{array}$
Xét hàm số $f(t)={{\log }_{3}}t+t$ trên $(0;+\infty )$
${{f}^{\prime }}(t)=\dfrac{1}{t\ln 3}+1>0,\forall t>0$ nên hàm số $f(t)$ đồng biển trên $(0;+\infty )$
Khi đó, phương trình (1) trở thành
$\begin{matrix}
f\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}} \right)\le f\left[ 3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab \right) \right] \\
\Leftrightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}\le 3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab \right) \\
\end{matrix}$
$\begin{array}{*{35}{l}}
\Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab \right)(a+b-3)\le 0 \\
\Leftrightarrow a+b-3\le 0 \\
{} \\
\end{array}$
Vậy có ba cặp số $(a, b)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.