Câu hỏi: Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân vào bể sao cho ba đường tròn đáy của ba khối nón đôi một tiếp xúc với nhau, một khối nón có đường tròn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón còn lại có đường tròn đáy tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
Cách giải:
Ta có mặt đáy của bể nước hình hộp chữ nhật như sau:
Gọi r là bán kính đáy hình nón A, B, C lần lượt là 3 tâm đường tròn đáy của hình nón là MNPQ là đáy của bể nước hình hộp chữ nhật
Ta có:
Gọi H là trung điểm của BC, do tam giác ABC đểu cạnh 2r nên
Gọi A', B', C' lần lượt là 3 đỉnh của ba hình nón có tâm đường tròn đáy là A, B, C và O' là tâm tam giác đều A'B'C'. Dễ thấy
Ta có:
Vì thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân nên hình nón có chiều cao bằng r
Suy ra chiều cao của khối hộp chữ nhật là:
Ta có:
+ Thể tích 3 khối nón là
+ Thể tích khối cầu là
Khi đó thể tích phần nước trào ra là:
Vậy thể tích khối hộp chữ nhật là
Ta có mặt đáy của bể nước hình hộp chữ nhật như sau:
Gọi r là bán kính đáy hình nón A, B, C lần lượt là 3 tâm đường tròn đáy của hình nón là MNPQ là đáy của bể nước hình hộp chữ nhật
Ta có:
Gọi H là trung điểm của BC, do tam giác ABC đểu cạnh 2r nên
Gọi A', B', C' lần lượt là 3 đỉnh của ba hình nón có tâm đường tròn đáy là A, B, C và O' là tâm tam giác đều A'B'C'. Dễ thấy
Ta có:
Vì thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân nên hình nón có chiều cao bằng r
Suy ra chiều cao của khối hộp chữ nhật là:
Ta có:
+ Thể tích 3 khối nón là
+ Thể tích khối cầu là
Khi đó thể tích phần nước trào ra là:
Vậy thể tích khối hộp chữ nhật là
Đáp án B.