Có bao nhiêu số tự nhiên $m$ sao cho phương trình $\left|...

Đặt $t={{2}^{x}} \left( t>0 \right)$.
Phương trình đã cho trở thành $\left| {{t}^{2}}-4t+m-1 \right|=2t+2 \left( * \right)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{t}^{2}}-4t+m-1=2t+2 \\
& {{t}^{2}}-4t+m-1=-2t-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -m={{t}^{2}}-6t-3 \left( {{P}_{1}} \right) \\
& -m={{t}^{2}}-2t+1 \left( {{P}_{2}} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Vẽ hai parabol $\left( {{P}_{1}} \right), \left( {{P}_{2}} \right)$ trên khoảng $\left( 0; +\infty \right)$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left( * \right)$ có hai nghiệm dương phân biệt ${{t}_{1}}, {{t}_{2}}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -12<-m<-3 \\
& -m=0 \\
& -m\ge 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 3<m<12 \\
& m=0 \\
& m\le -1 \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $m\in \mathbb{N}$ nên $m\in \left\{ 0; 4; 5; ...; 11 \right\}$.