Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 15 và mỗi chữ số đều không vượt quá 5.

Phương pháp giải:
- Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là $\overline{abcd}\left( a;b;c;d\in \left\{ 0;1;2;3;4;5 \right\},a\ne b\ne c\ne d \right)$.
- Vì $\overline{abcd}\vdots 15$ nên $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\overline{abcd}\vdots 5\Rightarrow d\in \left\{ 0;5 \right\} \\
\overline{abcd}\vdots 3 \\
\end{array} \right.$.
- Ứng với mõi trường hợp của d, tìm các cặp số $a,b,c$ tương ứng.
Giải chi tiết:
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là $\overline{abcd}\left( a;b;c;d\in \left\{ 0;1;2;3;4;5 \right\},a\ne b\ne c\ne d \right)$.
Vì $\overline{abcd}\vdots 15$ nên $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\overline{abcd}\vdots 5\Rightarrow d\in \left\{ 0;5 \right\} \\
\overline{abcd}\vdots 3 \\
\end{array} \right.$.
+ TH1: $d=0$, số cần tìm có dạng $\overline{abc0}$ $\Rightarrow a+b+c\vdots 3$.
Các bộ ba chữ số chia hết cho 3 là $\left\{ 1;2;3 \right\};\left\{ 1;3;5 \right\};\left\{ 2;3;4 \right\};\left\{ 3;4;5 \right\}$.
⇒ có $4.3!=24$ cách chọn $a,b,c$.
⇒ Có 24 số thỏa mãn.
TH2: $d=5$, số cần tìm có dạng $\overline{abc5}$ $\Rightarrow a+b+c+5\vdots 3$ $\Rightarrow a+b+c$ chia 3 dư 1.
Các bộ ba chữ số chia 3 dư 1 là $\left\{ 0;1;3 \right\};\left\{ 1;2;4 \right\};\left\{ 0;3;4 \right\}$.
⇒ có $2.2.2!+3!=14$ cách chọn $a,b,c$.
⇒ Có 14 số thỏa mãn.
Vậy có tất cả $14+14=38$ số thỏa mãn.