Có bao nhiêu số thực $c$ để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số...

Xét phương trình ${{x}^{2}}-4x+c=0$ (1)
Xét hàm số $y={{x}^{2}}-4x+c$ trên $\left[ 2; 4 \right]$, có BBT
TH1: Phương trình (1) không có nghiệm trên đoạn $\left[ 2; 4 \right]\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& c-4>0 \\
& c<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& c>4 \\
& c<0 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó diện tích hình phẳng là: $S=\int\limits_{2}^{4}{\left| {{x}^{2}}-4x+c \right|\text{d}x}=\left| \int\limits_{2}^{4}{\left( {{x}^{2}}-4x+c \right)\text{d}x} \right|=\left| \left. \left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+cx \right) \right|_{2}^{4} \right|=\left| 2c-\dfrac{16}{3} \right|=3\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& c=\dfrac{25}{6} \left( TM \right) \\
& c=\dfrac{7}{6} \left( L \right) \\
\end{aligned} \right.$.
TH2: Phương trình (1) có nghiệm $a \in[2 ; 4] \Rightarrow c \in[0 ; 4]$.
Ta có ${{a}^{2}}-4a+c=0\Rightarrow c=-{{a}^{2}}+4a$.
Khi đó diện tích hình phẳng là: $S=-\int\limits_{2}^{a}{\left( {{x}^{2}}-4x+c \right)\text{d}x}+\int\limits_{a}^{4}{\left( {{x}^{2}}-4x+c \right)\text{d}x}=-\left. \left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+cx \right) \right|_{2}^{a}+\left. \left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+cx \right) \right|_{a}^{4}$
$=-\left( \dfrac{{{a}^{3}}}{3}-2{{a}^{2}}+ca \right)+\left( -\dfrac{16}{3}+2c \right)+\left( -\dfrac{32}{3}+4c \right)-\left( \dfrac{{{a}^{3}}}{3}-2{{a}^{2}}+ca \right)=-\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}+4{{a}^{2}}-2ca-16+6c$
$=-\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}+4{{a}^{2}}-2a\left( -{{a}^{2}}+4a \right)-16+6\left( -{{a}^{2}}+4a \right)=\dfrac{4}{3}{{a}^{3}}-10{{a}^{2}}+24a-16$.
Ta có $S=3\Leftrightarrow \dfrac{4}{3}{{a}^{3}}-10{{a}^{2}}+24a-16=3\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=\dfrac{3}{2} \\
& a=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& c=\dfrac{15}{4} \left( TM \right) \\
& c=3 \left( TM \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có 3 giá trị $c$ thoả mãn.