Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức $z$ với phần thực là số nguyên để số phức $\mathrm{w}=(\bar{z}-2 i)(z-2)$ là số ảo
A. 4.
B. 7.
C. 5.
D. 6.
A. 4.
B. 7.
C. 5.
D. 6.
Giả sử $z=x+yi,\ \left( x,y\in \mathbb{R} \right)\ $.
$\text{w}=(\bar{z}-2i)(z-2)=\left( x-yi-2i \right)\left( x+yi-2 \right)=\left( x-\left( y+2 \right)i \right)\left( x-2+yi \right)$
$\Rightarrow \text{w}=x\left( x-2 \right)+y\left( y+2 \right)+mi,\ \left( m\in \mathbb{R} \right)$.
Để $\text{w}$ là số thuần ảo $\Rightarrow x\left( x-2 \right)+y\left( y+2 \right)=0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=2$.
$\Rightarrow {{\left( y+1 \right)}^{2}}=2-{{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge 0\Rightarrow -\sqrt{2}\le x-1\le \sqrt{2}\Leftrightarrow 1-\sqrt{2}\le x\le 1+\sqrt{2}$.
Do $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=0,x=1,x=2$. Với mỗi $x$ có 2 giá trị $y$ nên có 6 số phức $z$ thỏa yêu cầu bài toán.
$\text{w}=(\bar{z}-2i)(z-2)=\left( x-yi-2i \right)\left( x+yi-2 \right)=\left( x-\left( y+2 \right)i \right)\left( x-2+yi \right)$
$\Rightarrow \text{w}=x\left( x-2 \right)+y\left( y+2 \right)+mi,\ \left( m\in \mathbb{R} \right)$.
Để $\text{w}$ là số thuần ảo $\Rightarrow x\left( x-2 \right)+y\left( y+2 \right)=0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=2$.
$\Rightarrow {{\left( y+1 \right)}^{2}}=2-{{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge 0\Rightarrow -\sqrt{2}\le x-1\le \sqrt{2}\Leftrightarrow 1-\sqrt{2}\le x\le 1+\sqrt{2}$.
Do $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=0,x=1,x=2$. Với mỗi $x$ có 2 giá trị $y$ nên có 6 số phức $z$ thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án D.