Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn ${{z}^{2}}$ là số thuần ảo và...

Phương pháp:
- Gọi $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right).$ Thay vào các giả thiết suy ra 2 phương trình hai ẩn $a,b.$
- Sử dụng phương pháp thế giải tìm $a,b$ và kết luận.
Cách giải:
Gọi $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right).$
+ Ta có ${{z}^{2}}={{\left( a+bi \right)}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi$ là số thuần ảo nên ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}={{b}^{2}}.$
+ $\left| z-2 \right|=2\Leftrightarrow \left| \left( a-2 \right)+bi \right|=2\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=4.$
Thay ${{a}^{2}}={{b}^{2}}$ ta có: ${{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{a}^{2}}=4\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}-4a=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=0\Rightarrow b=0 \\
& a=2\Rightarrow b=\pm 2 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu.