Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\overline{z}={{z}^{3}}?$

Cách giải:
Đặt $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \overline{z}=a-bi,$ khi đó ta có:
$\overline{z}={{z}^{3}}\Leftrightarrow a-bi={{\left( a+bi \right)}^{3}}$
$\Leftrightarrow a-bi={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}bi-3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}i$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a={{a}^{3}}-3a{{b}^{2}} \\
& -b=3{{a}^{2}}b-{{b}^{3}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\left( {{a}^{2}}-3{{b}^{2}}-1 \right)=0 \\
& b\left( 3{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& a=0 \\
& {{a}^{2}}-3{{b}^{2}}=1 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left[ \begin{aligned}
& b=0 \\
& 3{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=-1 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
TH1: $a=b=0\Rightarrow z=0.$
TH2: $\left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& 3{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=\pm 1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow z=\pm i.$
TH3: $\left\{ \begin{aligned}
& b=0 \\
& {{a}^{2}}-3{{b}^{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=0 \\
& a=\pm 1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow z=\pm 1$
TH4: $\left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}-3{{b}^{2}}=1 \\
& 3{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 4\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow a=\pm b\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\pm b \\
& -2{{b}^{2}}=1\left( vonghiem \right) \\
\end{aligned} \right..$
Vậy có tất cả 5 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.