Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|=\sqrt{2}$ và $\left( z+2i \right)\left( \overline{z}-2 \right)$ là số thuần ảo?
A. 1.
B. 0.
C. 2.
D. 4.
A. 1.
B. 0.
C. 2.
D. 4.
Cách giải:
Đặt $\text{w}=\left( z+2i \right)\left( \overline{z}-2 \right)$
$=z.\overline{z}-2z+2i\overline{z}-4i$
$={{\left| z \right|}^{2}}-2z+2i\overline{z}-4i$
$=2-2z+2i\overline{z}-4i$
Đặt $z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \overline{z}=x-yi,$ khi đó ta có:
$\text{w}=2-2z+2i\overline{z}-4i$
$=2-2\left( x+yi \right)+2i\left( x-yi \right)-4i$
$=2-2x-2yi+2xi+2y-4i$
$=\left( 2-2x+2y \right)+\left( 2x-2y-4 \right)i$
Vì $\text{w}$ là số thuần ảo nên $2-2x+2y=0\Leftrightarrow x=y+1.$
Lại có $\left| z \right|=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\Rightarrow {{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4\Leftrightarrow 2{{y}^{2}}+2y-3=0\Leftrightarrow y=\dfrac{-1\pm \sqrt{7}}{2}.$
Vậy có 2 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đặt $\text{w}=\left( z+2i \right)\left( \overline{z}-2 \right)$
$=z.\overline{z}-2z+2i\overline{z}-4i$
$={{\left| z \right|}^{2}}-2z+2i\overline{z}-4i$
$=2-2z+2i\overline{z}-4i$
Đặt $z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \overline{z}=x-yi,$ khi đó ta có:
$\text{w}=2-2z+2i\overline{z}-4i$
$=2-2\left( x+yi \right)+2i\left( x-yi \right)-4i$
$=2-2x-2yi+2xi+2y-4i$
$=\left( 2-2x+2y \right)+\left( 2x-2y-4 \right)i$
Vì $\text{w}$ là số thuần ảo nên $2-2x+2y=0\Leftrightarrow x=y+1.$
Lại có $\left| z \right|=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\Rightarrow {{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4\Leftrightarrow 2{{y}^{2}}+2y-3=0\Leftrightarrow y=\dfrac{-1\pm \sqrt{7}}{2}.$
Vậy có 2 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án C.