Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| {{z}^{2}}...

Đặt $z=a+bi\Rightarrow \bar{z}=a-bi,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$
Ta có $\left| {{z}^{2}} \right|=2\left| z-\bar{z} \right|\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4\left| bi \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4b,\left( b\ge 0 \right) \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=-4b,\left( b<0 \right) \\
\end{aligned} \right.\text{ }\left( 1 \right)$
Ta lại có $\left| \bar{z}-4i \right|=\left| z+4i \right|$. Do đó suy ra $\left| \left( z-4 \right)\left( \bar{z}-4i \right) \right|={{\left| z+4i \right|}^{2}}\Leftrightarrow \left| \left( z-4 \right) \right|.\left| \left( \bar{z}-4i \right) \right|-{{\left| z+4i \right|}^{2}}=0\Leftrightarrow \left| \left( z+4i \right) \right|\left( \left| \left( z-4 \right) \right|-\left| z+4i \right| \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| z+4i \right|=0 \\
& \left| z-4 \right|=\left| z+4i \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z+4i=0 \\
& \left| z-4 \right|=\left| z+4i \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a+\left( b+4 \right)i=0 \\
& a=-b \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=-4 \\
\end{aligned} \right. \\
& a=-b \\
\end{aligned} \right.$
Với $\left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=-4 \\
\end{aligned} \right. $ thay vào $ \left( 1 \right)$ thỏa
Với $a=-b$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta được $\left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& 2{{b}^{2}}=4b \\
& b\ge 0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& 2{{b}^{2}}=-4b \\
& b<0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& b=2 \\
& a=-2 \\
\end{aligned} \right. \\
& a=b=0 \\
& \left\{ \begin{aligned}
& b=-2 \\
& a=2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
Vậy có $4$ số phức thỏa yêu cầu bài toán.