Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| {{z}^{2}} \right|=\left|...

Gọi $z=a+bi,\forall a;b\in \mathbb{R}$.
Ta có: $\left| {{z}^{2}} \right|=\left| z-\overline{z} \right|\Rightarrow \left| {{z}^{2}} \right|=\left| 2bi \right|\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2\left| b \right|\left( * \right)$
$\left| \left( z+2 \right) \right|\left| \left( \overline{z}+2i \right) \right|={{\left| z-2i \right|}^{2}}\left( ** \right)$
Vì $\overline{\overline{z}+2i}=z-2i$ nên $\left| \overline{z}+2i \right|=\left| z-2i \right|$.
Nên từ (**) $\left| \left( z+2 \right) \right|\left| z-2i \right|={{\left| z-2i \right|}^{2}}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
z=2i \\
\left| z+2 \right|=\left| z-2i \right| \\
\end{matrix} \right.$
Ta có: $\left| z+2 \right|=\left| z-2i \right|\Rightarrow {{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}\Leftrightarrow a=-b$ thay vào (*) ta được:
${{b}^{2}}+{{b}^{2}}=2\left| b \right|\Rightarrow {{b}^{2}}=\left| b \right|\Rightarrow \left[ \begin{matrix}
b=0 \\
b=\pm 1 \\
\end{matrix} \right.$.
Vậy có tất cả 4 số phức thỏa mãn là: 0, $2i$, $-1+i$, $1-i$.