Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left( {{z}^{2}}-2z+7...

Ta có $\left( {{z}^{2}}-2z+7 \right)\left( z-2{{\overline{z}}^{2}} \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}^{2}}-2z+7=0 \left( 1 \right) \\
& z-2{{\overline{z}}^{2}}=0 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Ta thấy $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm $z=1\pm \sqrt{6}i$.
Xét phương trình $\left( 2 \right)$. Giả sử số phức $z=a+bi \left( a,b\in \mathbb{R} \right) \Rightarrow \bar{z}=a-bi$
Theo đề bài $\Leftrightarrow a+bi-2{{\left( a-bi \right)}^{2}}=0$ $\Leftrightarrow a-2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+\left( b+4ab \right)i=0$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a-2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}=0 \left( 3 \right) \\
& b+4ab=0 \left( 4 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Xét phương trình $\left( 4 \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=0 \\
& a=-\dfrac{1}{4} \\
\end{aligned} \right.$.
+ Khi $b=0$ thế vào $\left( 3 \right)$ ta được $a-2{{a}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=0 \\
& a=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=0 \\
& z=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
+ Khi $a=-\dfrac{1}{4}$ thế vào $\left( 3 \right)$ ta được $2{{b}^{2}}-\dfrac{3}{8}=0\Leftrightarrow b=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{4}$ $\Rightarrow z=-\dfrac{1}{4}\pm \dfrac{\sqrt{3}}{4}i$.
Vậy có 6 số phức thỏa mãn.