Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-1 \right|=1$ và phần thực của số phức $\left( z+4i \right)\left( \overline{z}-2 \right)$ bằng 4?
A. 3.
B. 1.
C. 2.
D. 0.
A. 3.
B. 1.
C. 2.
D. 0.
Cách giải:
Gọi $z=a+bi,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$
Ta có: $\left| z-1 \right|=1\Rightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=1$
$\left( z+4i \right)\left( \overline{z}-2 \right)=\left[ a+\left( b+4 \right)i \right]\left[ \left( a-2 \right)-bi \right]=a\left( a-2 \right)-abi+\left( a-2 \right)\left( b+4 \right)i+b\left( b+4 \right)$
Phần thực của số phức bằng 4 nên $a\left( a-2 \right)+b\left( b+4 \right)=4\Rightarrow {{a}^{2}}-2a+{{b}^{2}}+4b-4=0$
$\Rightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}=9$
Tập hợp điểm số phức $z$ là giao điểm của hai đường tròn:
${{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=1$ và ${{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}=9$
Ta có: $I\left( 1;0 \right),R=1$ và $I'\left( 1;-2 \right),R=3$
$II'=1=R'-R$
Do đó hai đường tròn tiếp xúc trong nên có một số phức thỏa mãn.
Gọi $z=a+bi,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$
Ta có: $\left| z-1 \right|=1\Rightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=1$
$\left( z+4i \right)\left( \overline{z}-2 \right)=\left[ a+\left( b+4 \right)i \right]\left[ \left( a-2 \right)-bi \right]=a\left( a-2 \right)-abi+\left( a-2 \right)\left( b+4 \right)i+b\left( b+4 \right)$
Phần thực của số phức bằng 4 nên $a\left( a-2 \right)+b\left( b+4 \right)=4\Rightarrow {{a}^{2}}-2a+{{b}^{2}}+4b-4=0$
$\Rightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}=9$
Tập hợp điểm số phức $z$ là giao điểm của hai đường tròn:
${{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=1$ và ${{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}=9$
Ta có: $I\left( 1;0 \right),R=1$ và $I'\left( 1;-2 \right),R=3$
$II'=1=R'-R$
Do đó hai đường tròn tiếp xúc trong nên có một số phức thỏa mãn.
Đáp án B.