Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+1-3i \right|=3\sqrt{2}$ và ${{\left( z+2i \right)}^{2}}$ là số thuần ảo?
A. $1$.
B. $2$.
C. $4$.
D. $3$.
A. $1$.
B. $2$.
C. $4$.
D. $3$.
Ta có ${|z+1-3 i|=3 \sqrt{2}}$ suy ra tập hợp điểm ${M}$ biểu diễn số phức ${z}$ là đường tròn tâm ${I(-1 ; 3)}$ bán kính ${R=3 \sqrt{2}}$
Đặt ${z=x+y i(x ; y \in \mathbb{\}})}$ suy ra ${(z+2 i)^2=(x+(y+2) i)^2=x^2-(y+2)^2+2 x(y+2) i}$ là số
thuần ảo nên ta được ${x^2-(y+2)^2=0 \Leftrightarrow x^2=(y+2)^2 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=y+2 \\ x=-y-2\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x-y-2=0 \\ x+y+2=0\end{array}\right.\right.}$
Suy ra tập hợp điểm ${M}$ biểu diễn số phức ${z}$ là hai đường thẳng ${d_1: x-y-2=0 ; d_2: x+y+2=0}$
Vậy điềm ${M}$ thỏa mãn đầu bài là giao của hai đường thẳng ${d_1 ; d_2}$ với đường tròn.
Ta có ${d_{\left(I ; d_1\right)}=\dfrac{|-1-3-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=3 \sqrt{2}=R}$ suy ra có một điểm chung.
${d_{\left(I ; d_2\right)}=\dfrac{|-1+3+2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=2 \sqrt{2}<R}$ suy ra có hai điểm chung. Vậy có 3 số phức ${z}$ thỏa mãn đề bài.
Đặt ${z=x+y i(x ; y \in \mathbb{\}})}$ suy ra ${(z+2 i)^2=(x+(y+2) i)^2=x^2-(y+2)^2+2 x(y+2) i}$ là số
thuần ảo nên ta được ${x^2-(y+2)^2=0 \Leftrightarrow x^2=(y+2)^2 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=y+2 \\ x=-y-2\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x-y-2=0 \\ x+y+2=0\end{array}\right.\right.}$
Suy ra tập hợp điểm ${M}$ biểu diễn số phức ${z}$ là hai đường thẳng ${d_1: x-y-2=0 ; d_2: x+y+2=0}$
Vậy điềm ${M}$ thỏa mãn đầu bài là giao của hai đường thẳng ${d_1 ; d_2}$ với đường tròn.
Ta có ${d_{\left(I ; d_1\right)}=\dfrac{|-1-3-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=3 \sqrt{2}=R}$ suy ra có một điểm chung.
${d_{\left(I ; d_2\right)}=\dfrac{|-1+3+2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=2 \sqrt{2}<R}$ suy ra có hai điểm chung. Vậy có 3 số phức ${z}$ thỏa mãn đề bài.
Đáp án D.