Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\left| z-2022i \right|=2023$ và ${{z}^{2}}$ là số thuần ảo?
A. $1$.
B. $0$.
C. $4$.
D. $2$.
A. $1$.
B. $0$.
C. $4$.
D. $2$.
Gọi $z=a+bi, \left( a, b \in \mathbb{R} \right)$.
${{z}^{2}}={{\left( a+bi \right)}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi$ là số thuần ảo nên ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}={{b}^{2}}$
$\left| z-2022i \right|=2023$ $\Leftrightarrow \left| a+\left( b-2022 \right)i \right|=2023\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( b-2022 \right)}^{2}}={{2023}^{2}}$ $\Leftrightarrow 2{{b}^{2}}-4044b-4045=0 \left( 1 \right)$
Do $2.\left( -4045 \right)<0$ nên phương trình $\left( 1 \right)$ luôn có hai nghiệm trái dấu hay $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b={{b}_{1}} ({{b}_{1}}<0) \\
& b={{b}_{2}} ({{b}_{2}}>0) \\
\end{aligned} \right.$
Với $b={{b}_{1}}$ thì ${{a}^{2}}=b_{1}^{2}\Leftrightarrow {{a}_{1,2}}=\pm \sqrt{b_{1}^{2}}$.
Với $b={{b}_{2}}$ thì ${{a}^{2}}=b_{2}^{2}\Leftrightarrow {{a}_{3,4}}=\pm \sqrt{b_{2}^{2}}$
Vậy có 4 số phức $z$ cần tìm.
${{z}^{2}}={{\left( a+bi \right)}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi$ là số thuần ảo nên ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}={{b}^{2}}$
$\left| z-2022i \right|=2023$ $\Leftrightarrow \left| a+\left( b-2022 \right)i \right|=2023\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( b-2022 \right)}^{2}}={{2023}^{2}}$ $\Leftrightarrow 2{{b}^{2}}-4044b-4045=0 \left( 1 \right)$
Do $2.\left( -4045 \right)<0$ nên phương trình $\left( 1 \right)$ luôn có hai nghiệm trái dấu hay $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b={{b}_{1}} ({{b}_{1}}<0) \\
& b={{b}_{2}} ({{b}_{2}}>0) \\
\end{aligned} \right.$
Với $b={{b}_{1}}$ thì ${{a}^{2}}=b_{1}^{2}\Leftrightarrow {{a}_{1,2}}=\pm \sqrt{b_{1}^{2}}$.
Với $b={{b}_{2}}$ thì ${{a}^{2}}=b_{2}^{2}\Leftrightarrow {{a}_{3,4}}=\pm \sqrt{b_{2}^{2}}$
Vậy có 4 số phức $z$ cần tìm.
Đáp án C.