Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|2z-\overline{z}|=\sqrt{13}$ và $(1+2i)z$ là số thuần ảo?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
Đặt $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}$. Ta có:
$\left| 2z-\overline{z} \right|=\sqrt{13}\Leftrightarrow \left| 2\left( a+bi \right)-\left( a-bi \right) \right|=\sqrt{13}\Leftrightarrow \left| a+3bi \right|=\sqrt{13}$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+9{{b}^{2}}}=\sqrt{13}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+9{{b}^{2}}=13\left( 1 \right)$
$\left( 1+2i \right)z=\left( 1+2i \right)\left( a+bi \right)=a+2ai+bi-2b=a-2b+\left( 2a+b \right)i$ là số thuần ảo nên có $a-2b=0\Leftrightarrow a=2b$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta được $13{{b}^{2}}=13\Leftrightarrow b=\pm 1.$
Vậy có hai số phức là $z=2+i$ và $z=-2-i.$
$\left| 2z-\overline{z} \right|=\sqrt{13}\Leftrightarrow \left| 2\left( a+bi \right)-\left( a-bi \right) \right|=\sqrt{13}\Leftrightarrow \left| a+3bi \right|=\sqrt{13}$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+9{{b}^{2}}}=\sqrt{13}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+9{{b}^{2}}=13\left( 1 \right)$
$\left( 1+2i \right)z=\left( 1+2i \right)\left( a+bi \right)=a+2ai+bi-2b=a-2b+\left( 2a+b \right)i$ là số thuần ảo nên có $a-2b=0\Leftrightarrow a=2b$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta được $13{{b}^{2}}=13\Leftrightarrow b=\pm 1.$
Vậy có hai số phức là $z=2+i$ và $z=-2-i.$
Đáp án C.