Có bao nhiêu số phức $z$ đôi một khác nhau thỏa mãn $\left| z+i \right|=2$ và ${{\left( z-2 \right)}^{4}}$ là số thực?

Phương pháp:
- Từ giả thiết $\left| z+i \right|=2$ suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z.$
- Từ giả thiết ${{\left( z-2 \right)}^{4}}$ là số thực chứng minh hoặc $z-2$ là số thực, hoặc $z-2$ là số thuần ảo, hoặc $z-2$ có phần thực bằng cộng trừ phần ảo.
- Sử dụng phương pháp hình học.
Cách giải:
Vì $\left| z+i \right|=2\Rightarrow \left| z-\left( -i \right) \right|=2$ nên tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I\left( 0;-1 \right)$, bán kính $R=2.$
Gọi $z-2=x+yi$ ta có:
${{\left( z-2 \right)}^{2}}={{\left( x+yi \right)}^{4}}={{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2xyi \right)}^{2}}$
$={{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}^{2}}+4xy\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)i-4{{x}^{2}}{{y}^{2}}$
$={{x}^{4}}-8{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{4}}+4xy\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)i$
Vì ${{\left( z-2 \right)}^{2}}$ là số thực nên $4xy\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& y=0 \\
& \left| x \right|=\left| y \right| \\
\end{aligned} \right.$
TH1: $x=0\Rightarrow z-2=yi\Rightarrow z=2+yi\Rightarrow $ tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng $x=2$ trừ điểm $\left( 2;0 \right)$.
TH2: $y=0\Rightarrow z-2=z\Leftrightarrow z=x+2\Rightarrow $ tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng $y=0$ trừ điểm $\left( -2;0 \right).$
TH3: $\left| x \right|=\left| y \right|\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=y\Rightarrow z-2=x+xi\Rightarrow z=x+2+xi \\
& x=-y\Rightarrow z-2=x-xi\Rightarrow z=x+2-xi \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ tập hợp các điểm biểu diễn số phức $ z $ là đường thẳng $ \left[ \begin{aligned}
& y=x-2 \\
& y=-x+2 \\
\end{aligned} \right. $ trừ điểm $ \left( 0;-2 \right),\left( 2;0 \right),\left( 0;2 \right),\left( -2;0 \right)$.
Ta có hình vẽ:

Vậy có 5 số phức $z$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.