Có bao nhiêu số nguyên $y$ thuộc đoạn $\left[ -2022;2022 \right]$...

Đặt $t={{2}^{x}};t>0$. Khi đó từ giả thiết ta có phương trình
$12.\sqrt[3]{3y+12t}={{t}^{3}}-3y$ $\Leftrightarrow \left( 3y+12t \right)+12.\sqrt[3]{3y+12t}={{t}^{3}}+12t$ (1)
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+12t;t>0$ có ${f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+12>0;\forall t>0$
$\Rightarrow f\left( t \right)$ luôn đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( \sqrt[3]{3y+12t} \right)=f\left( t \right)$ $\Leftrightarrow \sqrt[3]{3y+12t}=t$ $\Leftrightarrow 3y={{t}^{3}}-12t$.
Đặt $g\left( t \right)={{t}^{3}}-12t;t>0$ có ${g}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-12$ ; ${g}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=2 \\
& t=-2\left( L \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên
Để tồn tại $x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có nghiệm $t>0$ $\Leftrightarrow 3y\ge -16\Leftrightarrow y\ge -\dfrac{16}{3}$.
Vì $y\in \mathbb{Z}$ và $y\in \left[ -2022;2022 \right]$ nên $y\in \left\{ -5;-4;-3;....;2022 \right\}$. Vậy có 2028 số nguyên $y$.