Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $y$ sao cho ứng với mỗi $y$ có đúng $5$ số nguyên $x$ thỏa mãn: $\log \left( {{x}^{2}}+2x+y \right)-2\log \left( 2x-1 \right)>0$ ?
A. $75$.
B. $26$.
C. $27$.
D. $74$.
A. $75$.
B. $26$.
C. $27$.
D. $74$.
Điều kiện $x>\dfrac{1}{2}$.
Ta có
$\begin{aligned}
& \log \left( {{x}^{2}}+2x+y \right)-2\log \left( 2x-1 \right)>0 \\
& \Leftrightarrow \log \left( {{x}^{2}}+2x+y \right)>\log {{\left( 2x-1 \right)}^{2}} \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x+y>4{{x}^{2}}-4x+1 \\
& \Leftrightarrow y>3{{x}^{2}}-6x+1. \\
\end{aligned}$
Đặt $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x+1$ với $x>\dfrac{1}{2}$, ta có ${f}'\left( x \right)=6x-6=0\Leftrightarrow x=1$.
Lập bảng biến thiên
Ứng với mỗi $y$ có đúng $5$ số nguyên $x$ thỏa mãn
Ta có
$\begin{aligned}
& \log \left( {{x}^{2}}+2x+y \right)-2\log \left( 2x-1 \right)>0 \\
& \Leftrightarrow \log \left( {{x}^{2}}+2x+y \right)>\log {{\left( 2x-1 \right)}^{2}} \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x+y>4{{x}^{2}}-4x+1 \\
& \Leftrightarrow y>3{{x}^{2}}-6x+1. \\
\end{aligned}$
Đặt $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x+1$ với $x>\dfrac{1}{2}$, ta có ${f}'\left( x \right)=6x-6=0\Leftrightarrow x=1$.
Lập bảng biến thiên
$y>f\left( x \right)\Leftrightarrow f\left( 5 \right)<y\le f\left( 6 \right)\Leftrightarrow 46<y\le 73$.
Vậy có $27$ số nguyên $y$ thỏa yêu cầu bài toán.Đáp án C.