Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn $\left[ {{3}^{2x}}-{{4.3}^{x+1}}+27 \right]\left[ {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3 \right]\le 0$
A. $2$.
B. $4$.
C. $1$.
D. $3$.
A. $2$.
B. $4$.
C. $1$.
D. $3$.
Điều kiện: $x>-1$
Bất phương trình tương đương $\left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{2x}}-{{4.3}^{x+1}}+27\ge 0 \\
& {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3\le 0 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{2x}}-{{4.3}^{x+1}}+27\le 0 \\
& {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3\ge 0 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta xét hệ bất phương trình đầu tiên $\left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{2x}}-{{12.3}^{x}}+27\ge 0 \left( 1 \right) \\
& {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3\le 0 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{3}^{x}}\le 3\vee {{3}^{x}}\ge 9\Leftrightarrow x\le 1\vee x\ge 2$.
Xét hàm $f\left( x \right)={{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3$ với $x\in \left( -1;1 \right]\cup \left[ 2;+\infty \right)$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{1}{\left( x+1 \right)\ln 3}+1>0,\forall x\in \left( -1;1 \right]\cup \left[ 2;+\infty \right)$
Khi đó bất phương trình (2) có ba nghiệm nguyên là $x\in \left\{ 0;1;2 \right\}$.
Ta xét hệ bất phương trình còn lại $\left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{2x}}-{{12.3}^{x}}+27\le 0 \left( 3 \right) \\
& {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3\ge 0 \left( 4 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $\left( 3 \right)\Leftrightarrow 3\le {{3}^{x}}\le 9\Leftrightarrow 1\le x\le 2$
Tương tự, xét hàm $f\left( x \right)={{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3$ với $x\in \left[ 1;2 \right]$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{1}{\left( x+1 \right)\ln 3}+1>0,\forall x\in \left[ 1;2 \right]$
Nhận thấy chỉ có $f\left( 2 \right)=0$ nên bất phương trình (4) chỉ có nghiệm nguyên là $x=2$.
Cuối cùng bất phương trình có ba nghiệm nguyên là $x\in \left\{ 0;1;2 \right\}$.
Bất phương trình tương đương $\left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{2x}}-{{4.3}^{x+1}}+27\ge 0 \\
& {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3\le 0 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{2x}}-{{4.3}^{x+1}}+27\le 0 \\
& {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3\ge 0 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta xét hệ bất phương trình đầu tiên $\left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{2x}}-{{12.3}^{x}}+27\ge 0 \left( 1 \right) \\
& {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3\le 0 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{3}^{x}}\le 3\vee {{3}^{x}}\ge 9\Leftrightarrow x\le 1\vee x\ge 2$.
Xét hàm $f\left( x \right)={{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3$ với $x\in \left( -1;1 \right]\cup \left[ 2;+\infty \right)$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{1}{\left( x+1 \right)\ln 3}+1>0,\forall x\in \left( -1;1 \right]\cup \left[ 2;+\infty \right)$
Khi đó bất phương trình (2) có ba nghiệm nguyên là $x\in \left\{ 0;1;2 \right\}$.
Ta xét hệ bất phương trình còn lại $\left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{2x}}-{{12.3}^{x}}+27\le 0 \left( 3 \right) \\
& {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3\ge 0 \left( 4 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $\left( 3 \right)\Leftrightarrow 3\le {{3}^{x}}\le 9\Leftrightarrow 1\le x\le 2$
Tương tự, xét hàm $f\left( x \right)={{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3$ với $x\in \left[ 1;2 \right]$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{1}{\left( x+1 \right)\ln 3}+1>0,\forall x\in \left[ 1;2 \right]$
Nhận thấy chỉ có $f\left( 2 \right)=0$ nên bất phương trình (4) chỉ có nghiệm nguyên là $x=2$.
Cuối cùng bất phương trình có ba nghiệm nguyên là $x\in \left\{ 0;1;2 \right\}$.
Đáp án D.