Có bao nhiêu số nguyên $x$ thoả mãn $\left[ {{\log }_{2}}\left(...

$\left[ {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)-{{\log }_{2}}\left( x+31 \right) \right]\left( 32-{{2}^{x-1}} \right)\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)-{{\log }_{2}}\left( x+31 \right)\ge 0 \\
& 32-{{2}^{x-1}}\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\text{ }\left( 1 \right) \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)-{{\log }_{2}}\left( x+31 \right)\le 0 \\
& 32-{{2}^{x-1}}\le 0 \\
\end{aligned} \right.\text{ }\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Giải (1): $\left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)-{{\log }_{2}}\left( x+31 \right)\ge 0 \\
& 32-{{2}^{x-1}}\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+1\ge x+31 \\
& x+31>0 \\
& {{2}^{x-1}}\le {{2}^{5}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-x-30\ge 0 \\
& x>-31 \\
& x\le 6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x\in \left( -31;-5 \right]\cup \left\{ 6 \right\}$.
Giải (2):
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)-{{\log }_{2}}\left( x+31 \right)\le 0 \\
& 32-{{2}^{x-1}}\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+1\le x+31 \\
& {{2}^{x-1}}\ge {{2}^{5}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-x-30\le 0 \\
& x\ge 6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=6$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left( -31;-5 \right]\cup \left\{ 6 \right\}$ mà $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \left\{ -30;-29;....;-4;-5;6 \right\}$. Do đó, có tất cả $27$ nghiệm nguyên.