Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ có không quá $728$ số nguyên $y$ thỏa mãn ${{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\ge {{\log }_{3}}(x+y)$ ?
A. $59$.
B. $58$.
C. $116$.
D. $115$.
A. $59$.
B. $58$.
C. $116$.
D. $115$.
Với mọi $x\in \mathbb{Z}$ ta có ${{x}^{2}}\ge x$.
Xét hàm số $f(y)={{\log }_{3}}(x+y)-{{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}+y \right)$.
Tập xác định $\text{D}=(-x;+\infty )$ (do $y>-x\Rightarrow y>-{{x}^{2}}$ ).
$f'(y)=\dfrac{1}{(x+y)\ln 3}-\dfrac{1}{\left( {{x}^{2}}+y \right)\ln 4}\ge 0, \forall x\in D$ (do ${{x}^{2}}+y\ge x+y>0$, $\ln 4>\ln 3$ )
$\Rightarrow $ $f$ tăng trên $\text{D}$.
Ta có $f(-x+1)={{\log }_{3}}(x-x+1)-{{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)\le 0$.
Có không quá 728 số nguyên $y$ thỏa mãn $f\left( y \right)\le 0$
$\Leftrightarrow f(-x+729)>0\Leftrightarrow {{\log }_{3}}729-{{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}-x+729 \right)>0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+729-{{4}^{6}}<0$ $\Leftrightarrow $ ${{x}^{2}}-x-3367<0$ $\Leftrightarrow -57,5\le x\le 58,5$
Mà $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \left\{ -57, -56, ..., 58 \right\}$. Vậy có $58-(-57)+1=116$ số nguyên $x$ thỏa.
Xét hàm số $f(y)={{\log }_{3}}(x+y)-{{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}+y \right)$.
Tập xác định $\text{D}=(-x;+\infty )$ (do $y>-x\Rightarrow y>-{{x}^{2}}$ ).
$f'(y)=\dfrac{1}{(x+y)\ln 3}-\dfrac{1}{\left( {{x}^{2}}+y \right)\ln 4}\ge 0, \forall x\in D$ (do ${{x}^{2}}+y\ge x+y>0$, $\ln 4>\ln 3$ )
$\Rightarrow $ $f$ tăng trên $\text{D}$.
Ta có $f(-x+1)={{\log }_{3}}(x-x+1)-{{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)\le 0$.
Có không quá 728 số nguyên $y$ thỏa mãn $f\left( y \right)\le 0$
$\Leftrightarrow f(-x+729)>0\Leftrightarrow {{\log }_{3}}729-{{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}-x+729 \right)>0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+729-{{4}^{6}}<0$ $\Leftrightarrow $ ${{x}^{2}}-x-3367<0$ $\Leftrightarrow -57,5\le x\le 58,5$
Mà $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \left\{ -57, -56, ..., 58 \right\}$. Vậy có $58-(-57)+1=116$ số nguyên $x$ thỏa.
Đáp án C.