Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ có không quá 255 số nguyên $y$ thỏa mãn ${{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\ge {{\log }_{2}}\left( x+y \right)$ ?
A. $1250$.
B. $1249$.
C. $625$.
D. $624$.
A. $1250$.
B. $1249$.
C. $625$.
D. $624$.
Bất phương trình đã cho tương đương ${{\log }_{2}}\left( x+y \right)-{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\le 0$ (1)
Xét hàm số $f(y)={{\log }_{2}}\left( x+y \right)-{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+y \right)$.
Tập xác định $D=(-x ;+\infty )$.
Với mọi $x\in \mathbb{Z}$ ta có ${{x}^{2}}\ge x$ nên ${f}'(y)=\dfrac{1}{\left( x+y \right)\ln 2}-\dfrac{1}{\left( {{x}^{2}}+y \right)\ln 5}\ge 0, \forall x\in D$
$\Rightarrow f(y)$ đồng biến trên khoảng $(-x ;+\infty )$.
Do $y$ là số nguyên thuộc $(-x ;+\infty )$ nên $y=-x+k, k\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$.
Giả sử $y=-x+k$ là nghiệm của bất phương trình (1) thì $f(y)=f(-x+k)\le 0$.
Mà $-x+1<-x+2< ... <-x+k$ và $f(y)$ đồng biến trên khoảng $(-x ;+\infty )$, suy ra
$f(-x+1)<f(-x+2)< ... <f(-x+k)\le 0$, nên các số nguyên $-x+1, -x+2, ... , -x+k$ đều là nghiệm của (1), hay nói cách khác bất phương trình (1) sẽ có $k$ số nguyên $y$ thỏa mãn yêu cầu ứng với mỗi $x$.
Để có không quá 255 số nguyên $y$ thì $f(-x+256)>0\Leftrightarrow {{\log }_{2}}256-{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-x+256 \right)>0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-390369<0\Leftrightarrow \dfrac{1-\sqrt{1561477}}{2}<x<\dfrac{1+\sqrt{1561477}}{2}$.
Mà $x\in \mathbb{Z}$ nên có 1250 số nguyên $x$ thỏa yêu cầu bài toán.
Xét hàm số $f(y)={{\log }_{2}}\left( x+y \right)-{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+y \right)$.
Tập xác định $D=(-x ;+\infty )$.
Với mọi $x\in \mathbb{Z}$ ta có ${{x}^{2}}\ge x$ nên ${f}'(y)=\dfrac{1}{\left( x+y \right)\ln 2}-\dfrac{1}{\left( {{x}^{2}}+y \right)\ln 5}\ge 0, \forall x\in D$
$\Rightarrow f(y)$ đồng biến trên khoảng $(-x ;+\infty )$.
Do $y$ là số nguyên thuộc $(-x ;+\infty )$ nên $y=-x+k, k\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$.
Giả sử $y=-x+k$ là nghiệm của bất phương trình (1) thì $f(y)=f(-x+k)\le 0$.
Mà $-x+1<-x+2< ... <-x+k$ và $f(y)$ đồng biến trên khoảng $(-x ;+\infty )$, suy ra
$f(-x+1)<f(-x+2)< ... <f(-x+k)\le 0$, nên các số nguyên $-x+1, -x+2, ... , -x+k$ đều là nghiệm của (1), hay nói cách khác bất phương trình (1) sẽ có $k$ số nguyên $y$ thỏa mãn yêu cầu ứng với mỗi $x$.
Để có không quá 255 số nguyên $y$ thì $f(-x+256)>0\Leftrightarrow {{\log }_{2}}256-{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-x+256 \right)>0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-390369<0\Leftrightarrow \dfrac{1-\sqrt{1561477}}{2}<x<\dfrac{1+\sqrt{1561477}}{2}$.
Mà $x\in \mathbb{Z}$ nên có 1250 số nguyên $x$ thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án A.